K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

DD
15 tháng 5 2021

\(a,b,c\)theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(a-b=b-c\).

\(d\)là công sai của cấp số cộng. 

Nếu \(d=0\)dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng. 

Nếu \(d\ne0\)

\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-b}\)

\(=\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)

19 tháng 5 2021

<br class="Apple-interchange-newline"><div></div>a,b,ctheo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a−b=b−c.

dlà công sai của cấp số cộng. 

Nếu d=0dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng. 

Nếu d≠0

1√a+√b +1√b+√c =√a−√ba−b +√b−√cb−c =√a−√ca−b 

=a−c(a−b)(√a+√c) =2√a+√c 

17 tháng 2 2022

Đặt: \(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\), khi đó ta được:

\(A^2=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+c^2+\frac{1}{c^2}\)

\(+2\cdot\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)}+2\cdot\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)}+2\cdot\sqrt{\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)}\ge\sqrt{\left(ab+\frac{1}{ab}\right)^2}=ab+\frac{1}{ab}\)

\(\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)}\ge\sqrt{\left(bc-\frac{1}{bc}\right)^2}=bc+\frac{1}{bc}\)

\(\sqrt{\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}\ge\sqrt{\left(ca+\frac{1}{ca}\right)^2}=ca+\frac{1}{ca}\)

Do đó ta có:

\(A^2\ge a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(ab+bc+ca+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2=82\)

Hay \(A\ge\sqrt{82}\), vậy bất đẳng thức được chứng minh.

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

Đáp án đúng là: A

Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = 21 và công sai d = – 24.

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a)    Ta có:

\(\begin{array}{l}10 + \left( { - 12} \right) =  - 2\\ - 2 + \left( { - 12} \right) =  - 14\\ - 14 + \left( { - 12} \right) =  - 26\\ - 26 + \left( { - 12} \right) =  - 38\end{array}\)

Dãy số là cấp số cộng

b)    Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\\\frac{5}{4} + \frac{3}{4} = 2\\2 + \frac{3}{4} = \frac{{11}}{4}\\\frac{{11}}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{2}\end{array}\)

 Dãy số là cấp số cộng

c)    Không xác định được d giữa các số hạng

 Dãy số không là cấp số cộng

d)    Ta có:

 \(\begin{array}{l}1 + 3 = 4\\4 + 3 = 7\\7 + 3 = 10\\10 + 3 = 13\end{array}\)

Dãy số là cấp số cộng

AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2020

Lời giải khác:

Theo BĐT AM-GM:

\(\text{VT}=\sum \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{a}\geq \sum \frac{\sqrt{(b+c)^2-a^2}}{a}=\sum \frac{\sqrt{a+b+c}.\sqrt{b+c-a}}{a}\)

\(=\sum \frac{\sqrt{a+b+c}.(b+c-a)}{\sqrt{a^2(b+c-a)}}\)

Theo BĐT AM-GM:

$a^2(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$

\(\Rightarrow \text{VT}\geq 3\sqrt{3}\sum \frac{\sqrt{a+b+c}(b+c-a)}{\sqrt{(a+b+c)^3}}=3\sqrt{3}.\sum \frac{b+c-a}{a+b+c}=3\sqrt{3}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

NV
11 tháng 9 2020

Chuẩn hóa \(a+b+c=3\)

Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta cũng suy ra \(0< a;b;c< \frac{3}{2}\)

Đặt vế trái là P, ta có:

\(P=\sum\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}{a}\ge\sum\frac{\sqrt{\left(b+c\right)^2-a^2}}{a}=\sum\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)}}{a}=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3-2a}}{a}+\frac{\sqrt{3-2b}}{b}+\frac{\sqrt{3-2c}}{c}\right)\)

Ta có đánh giá: \(\frac{\sqrt{3-2a}}{a}\ge3-2a\) với mọi \(a\in\left(0;\frac{3}{2}\right)\)

Thật vậy, BĐT \(\Leftrightarrow a\sqrt{3-2a}\le1\)

\(\Leftrightarrow1-a^2\left(3-2a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(2a+1\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự \(\frac{\sqrt{3-2b}}{b}\ge3-2b\) ; \(\frac{\sqrt{3-2c}}{c}\ge3-2c\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\left[9-2\left(a+b+c\right)\right]=3\sqrt{3}\) (đpcm)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 8 2023

\(a,a^{\dfrac{1}{3}}\cdot\sqrt{a}=a^{\dfrac{1}{3}}\cdot a^{\dfrac{1}{2}}=a^{\dfrac{5}{6}}\\ b,b^{\dfrac{1}{2}}\cdot b^{\dfrac{1}{3}}\cdot\sqrt[6]{b}=b^{\dfrac{1}{2}}\cdot b^{\dfrac{1}{3}}\cdot b^{\dfrac{1}{6}}=b^1\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 8 2023

\(c,a^{\dfrac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\dfrac{4}{3}}:a^{\dfrac{1}{3}}=a^{\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}}=a\\ d,\sqrt[3]{b}:b^{\dfrac{1}{6}}=b^{\dfrac{1}{3}}:b^{\dfrac{1}{6}}=b^{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}}=b^{\dfrac{1}{6}}=\sqrt[6]{b}\)

6 tháng 4 2020
https://i.imgur.com/lZeR93O.jpg
NV
5 tháng 4 2020

Đề đúng là +2 trên tử phải nằm trong căn đầu tiên, nếu ko giới hạn sẽ là dương vô cùng

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x^2+x+2}-2+2-\sqrt[3]{7x+1}}{\sqrt{2}\left(x-1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}+\frac{8-\left(7x+1\right)}{4+2\sqrt[3]{7x+1}+\sqrt[3]{\left(7x+1\right)^2}}}{\sqrt{2}\left(x-1\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{x-1}{4+2\sqrt[3]{7x+1}+\sqrt[3]{\left(7x+1\right)^2}}}{\sqrt{2}\left(x-1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{1}{4+2\sqrt[3]{7x+1}+\sqrt[3]{\left(7x+1\right)^2}}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{4+4+4}}{\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}+0\)

\(\Rightarrow a+b+c=1+3+0=4\)

4 tháng 4 2020

Tìm gì bạn