K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 1 2017

BĐT tương đương

\(a^2+b^2+\frac{a^2b^2+2ab+1}{\left(a+b\right)^2}\ge2\)

<=>\(\left(a+b\right)^2-2+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2ab}{\left(a+b\right)^2}-2ab\ge0\)

<=>\(\left(a+b\right)^2-2.\left(a+b\right).\frac{1}{a+b}+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}-2.\left(ab-\frac{ab}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge0\)

<=>\(\left(a+b-\frac{1}{a+b}\right)^2+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}-2.\left(\frac{ab\left(a+b\right)^2-ab}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge0\)

<=>\(\left(\frac{\left(a+b\right)^2-1}{a+b}\right)^2+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}-2.\left(\frac{ab\left[\left(a+b\right)^2-1\right]}{\left(a+b\right)\left(a+b\right)}\right)\ge0\)

<=>\(\left(\frac{\left(a+b\right)^2-1}{a+b}\right)^2+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}-2.\frac{\left(a+b\right)^2-1}{a+b}.\frac{ab}{a+b}\ge0\)

<=>\(\left(\frac{\left(a+b\right)^2-1}{a+b}-\frac{ab}{a+b}\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

=> dpcm

27 tháng 2 2021

Đặt A =\(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\)

Vì a + b \(\ne\)0 nên A luôn được xác định.

 Giả sử \(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(ab+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}-\frac{2\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2-2\left(a+b\right)^2\ge0\)(vì a + b \(\ne\)0)

\(\Leftrightarrow[\left(a^2+2ab+b^2\right)-2ab]\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2-2\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow[\left(a+b\right)^2-2ab]\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2-2\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2ab\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2-2\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-\left[2ab\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)^2\right]+\left(ab+1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2\right]^2-2\left(a+b\right)^2\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)^2\ge0\)

\(\left[\left(a+b\right)^2-\left(ab+1\right)^2\right]^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b\ne0\\\Leftrightarrow a=b\end{cases}}\Leftrightarrow a=b\left(a,b\ne0\right)\)

Vậy \(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge\)2 với a, b là các số thỏa mãn a+b \(\ne\)0

27 tháng 2 2021

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b\ne0\end{cases}\Leftrightarrow a=b}\)(a,b \(\ne\)0)

Vậy \(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\) với a, b là các số thỏa mãn \(a+b\ne0\)

Ta có: \(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2\ge2\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]-2\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2ab\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-ab-1\right]^2\ge0\)(đúng) 

\(\Leftrightarrow dpcm\)

13 tháng 12 2017

⇔(a2+b2)(a+b)2+(ab+1)2≥2(a+b)2

⇔(a+b)2[(a+b)2−2ab]−2(a+b)2+(ab+1)2≥0

⇔(a+b)4−2ab(a+b)2−2(a+b)2+(ab+1)2≥0

⇔[(a+b)2−ab−1]2≥0(đúng) 

           k mình đi

4 tháng 4 2019

\(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2-2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2ab-2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\) luôn đúng

16 tháng 1 2018

\(a^2+b^2+\left(\dfrac{ab+1}{a+b}\right)^2>hoặc=2\)

<=>\(a^2+b^2+\left(\dfrac{ab+1}{a+b}\right)^2-2>hoặc=0\)

<=>\(\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{ab+1}{a+b}\right)^2-2\left(ab+1\right)>hoặc=0\)

<=>\(\left(a+b-\dfrac{ab+1}{a+b}\right)^2>hoặc=0\)

(đpcm)

chúc bạn học tốt ^ ^

DD
5 tháng 8 2021

Ta có: 

\(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\left(ab+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right).\frac{ab+1}{a+b}+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta ta biến đổi tương đương nên bất đẳng thức ban đầu cũng đúng. 

Ta có đpcm. 

10 tháng 8 2017

\(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow A\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}=2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow A\ge\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}+2\)

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2\)

\(\Rightarrow A\ge2+4+2=8\)

"=" khi \(a=b=1\)

10 tháng 2 2018

Từ giả thiết của bài toán, ta biến đổi như sau:

\(a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^2\le4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\le2\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(A=\frac{ab+1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{bc+1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{ac+1}{\left(a+c\right)^2}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{2ab+2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2bc+2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2ac+2}{\left(a+c\right)^2}\ge6\)
Áp dụng giả thiết ta được

\(\frac{2ab+2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2ab+2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2ac+2}{\left(a+c\right)^2}\ge\text{∑}\frac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}{\left(a+b\right)^2}\)

\(=1+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)^2}+1+\frac{\left(b+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+c^2\right)}+1+\frac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left(c+b\right)^2}\)

\(=3+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(b+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+c\right)^2}+\frac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left(c+b\right)^2}\ge\)

\(3+\sqrt[3]{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)\left(b+a\right)\left(c+b\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}}=3+3=6\)



Vậy bài toán đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=13√.■