Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)
\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2/
Ta có
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)
\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\)
\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cách khác thì nhắn cái
2) Ta có : \(\left|x-1\right|+\left|1-x\right|=2\) (1)
Xét 3 trường hợp :
1. Với \(x>1\) , phương trình (1) trở thành : \(x-1+x-1=2\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\) (thoả mãn)
2. Với \(x< 1\), phương trình (1) trở thành : \(1-x+1-x=2\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\)(thoả mãn)
3. Với x = 1 , phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{0;2\right\}\)
1) Cách 1:
Ta có ; \(A=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy :\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\) ;\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\) ; \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow A\ge1+2+2+2=9\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\\\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy Min A = 9 <=> a = b = c
Cách 2 : Sử dụng bđt Bunhiacopxki : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)
Do \(a,b,c\) là các số dương suy ra:
\(a>0;b>0;c>0\)
Suy ra: \(a+b+c>0\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\left(a+b+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\) hoặc \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
Do \(a+b+c>0\)
Suy ra: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Suy ra: \(a-b=0;b-c=0\) và \(c-a=0\)
Suy ra: \(a=b=c\)
Suy ra: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\)
Ta có: \(\left(\frac{a}{b}-1\right)+\left(\frac{b}{c}-1\right)+\left(\frac{c}{a}-1\right)=\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\left(1-1\right)=0\)
Vậy ...
Sau khi giải bài này xong mình cảm thấy hoa mắt và chóng mặt, mong GP sẽ gấp đôi :)
Bài làm
Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> ( a3 + b3 ) + c3 - 3abc = 0
<=> ( a + b )3 - 3ab( a + b ) + c3 - 3abc = 0
<=> [ ( a + b )3 + c3 ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0
<=> ( a + b + c )[ ( a + b )2 - ( a + b )c + c2 ] - 3ab( a + b + c ) = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab ) = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{cases}}\)
Vì a, b, c dương => a + b + c > 0 => a + b + c = 0 vô lí
Xét a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac = 0
<=> 2( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 2.0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( a2 - 2ac + c2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c )2 = 0
VT ≥ 0 ∀ a,b,c . Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\a=c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
=> \(P=\left(\frac{a}{b}-1\right)+\left(\frac{b}{c}-1\right)+\left(\frac{c}{a}-1\right)=\left(\frac{a}{a}-1\right)+\left(\frac{b}{b}-1\right)+\left(\frac{c}{c}-1\right)\)
\(=\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\left(1-1\right)\)
\(=0\)
Biến đổi giả thiết \(2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)=2ab\)
Mà ta có: \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)nên \(2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(*)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)nên từ (*) suy ra \(\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Đặt \(s=a+b>0\)thì \(s^2-s\le\frac{s^2}{2}\Leftrightarrow\frac{s^2}{2}-s\le0\Leftrightarrow s^2-2s\le0\Leftrightarrow s\left(s-2\right)\le0\)
Mà \(s>0\)nên \(s-2\le0\Rightarrow s\le2\)hay \(a+b\le2\)
\(F=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+2020\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{ab}+2020.\frac{4}{a+b}\)\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2ab}+\frac{8080}{a+b}\ge\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a+b}\right)+\frac{8072}{a+b}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}.\frac{4}{a+b}.\frac{4}{a+b}}+\frac{8072}{2}=4042\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1