Câu hỏi của To Kill A Mockingbird

Question

Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn $ab+1⋮a^2+b^2$CMR: $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$là bình phương của 1 số nguyên

Phan Nghĩa · Accepted Answer

Đặt: $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ , $k\in Z$Giả sử, k không là số chính phương. Cố định số nguyên dương kk, sẽ tồn tại cặp (a,b)(a,b) . Ta kí hiệu $S=a,b\in NxN$| $\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k$Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc SS tồn tại (A,B)(A,B) sao cho A+B đạt min Giả sử: $A\ge B>0$. Cố định B ta còn số A thảo phương trình $k=\frac{x+B^2}{xB+1}$$\Leftrightarrow x^2-kBx+B^2-k=0$phương trình có nghiệm là A.Theo Viet: $\hept{\begin{cases}A+x_2=kB\A.x_2=B^2-k\end{cases}}$Suy ra: $x_2=kB-A=\frac{B^2-k}{A}$Dễ thấy x2 nguyên.Nếu x2 < 0 thì $x_2^2-kBx_2+B^2-k\ge x_2^2+k+B^2-k>0$ vô lý. Suy ra: $x_2\ge0$ do đó $x_2,B\in S$Do: $A\ge B>0\Rightarrow x_2=\frac{B^2-k}{A}< \frac{A^2-k}{A}< A$Suy ra: $x_2+B< A+B$ (trái với giả sử A+BA+B đạt min) Suy ra kk là số bình phươngCâu trả lời: Đặt: $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ , $k\in Z$Giả sử, k không là số chính phương. Cố định số nguyên dương kk, sẽ tồn tại cặp (a,b)(a,b) . Ta kí hiệu $S=a,b\in NxN$| $\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k$Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc SS tồn tại (A,B)(A,B) sao cho A+B đạt min Giả sử: $A\ge B>0$. Cố định B ta còn số A thảo phương trình $k=\frac{x+B^2}{xB+1}$$\Leftrightarrow x^2-kBx+B^2-k=0$phương trình có nghiệm là A.Theo Viet: $\hept{\begin{cases}A+x_2=kB\A.x_2=B^2-k\end{cases}}$Suy ra: $x_2=kB-A=\frac{B^2-k}{A}$Dễ thấy x2 nguyên.Nếu x2 < 0 thì $x_2^2-kBx_2+B^2-k\ge x_2^2+k+B^2-k>0$ vô lý. Suy ra: $x_2\ge0$ do đó $x_2,B\in S$Do: $A\ge B>0\Rightarrow x_2=\frac{B^2-k}{A}< \frac{A^2-k}{A}< A$Suy ra: $x_2+B< A+B$ (trái với giả sử A+BA+B đạt min) Suy ra kk là số bình phương

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP