Tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi AH,BI,CK là các đường cao. CMR: \(\frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}=1-\left(\cos^2A+cos^2B+cos^2C\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ML
7 tháng 7 2015
\(A=1+\frac{1}{x}+x+1=2+x+\frac{1}{x}\ge2+2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2+2=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)
Vậy GTNN của A là 4.
\(B=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\left(\frac{b}{9}+\frac{1}{b}\right)+\frac{3}{4}a+\frac{8}{9}b\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a}{4}.\frac{1}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{9}.\frac{1}{b}}+\frac{3}{4}.2+\frac{8}{9}.3=\frac{35}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{4}=\frac{1}{a};\frac{b}{9}=\frac{1}{b};a=2;b=3\Leftrightarrow a=2\text{ và }b=3\)
Vậy GTNN của B là 35/6
ML
7 tháng 7 2015
Áp dụng Côsi:
\(2.\frac{4}{3}.\sqrt{2a+bc}\le\left(\frac{4}{3}\right)^2+2a+bc\)
Tương tự: \(2.\frac{4}{3}\sqrt{2b+ca}\le\frac{16}{9}+2b+ca;2.\frac{4}{3}\sqrt{2c+ab}\le\frac{16}{9}+2c+ab\)
\(\Rightarrow\frac{8}{3}Q\le\frac{16}{3}+2\left(a+b+c\right)+bc+ca+ab=\frac{28}{3}+ab+bc+ca\)
Ta có: \(3\left(ab+bc+ca\right)=2\left(ab+bc+ca\right)+ab+bc+ca\)
\(\le2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2=4\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{8}{3}Q\le\frac{28}{3}+\frac{4}{3}=\frac{32}{3}\Rightarrow Q\le4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
ML
7 tháng 7 2015
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}-6=\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}-2+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}-2+\frac{a}{c}\right)\)
\(=\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{b}{c}}-\sqrt{\frac{c}{b}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{c}{a}}-\sqrt{\frac{a}{c}}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
CC
0
HP
0
MT
7 tháng 7 2015
\(A=\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}\right):\left(\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{x-1}:\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{x-1}\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{x-1}.\frac{x-1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\)
=\(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)}{\left(x+1\right)-\left(x-1\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x+1}\right)^2-\left(\sqrt{x-1}\right)^2}{x+1-x+1}=\frac{\left(x+1\right)-\left(x-1\right)}{2}\)
\(=\frac{x+1-x+1}{2}=\frac{2}{2}=1\)