a ) Do \(AH\perp BC\Rightarrow\)AH là đường cao của \(\Delta ABC\) cân tại A .Hay AH cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) cân tại A .

\(\Rightarrow BH=HC\)

Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CNH\) có : \(\widehat{BMH}=\widehat{CNH}=90^0\left(gt\right);BH=HC\left(cmt\right);\widehat{B}=\widehat{C}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta BMH\) = \(\Delta CNH\) (CH - GN) => BM = CN

Kết hợp với AB = AC => AM = AN hay \(\Delta AMN\) Cân tại A

b)  \(\Delta AMN\) Cân tại A (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\frac{180^0-\widehat{AMN}}{2}\)(1)

\(\Delta ABC\) Cân tại A (gt)  \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\frac{180^0-\widehat{ABC}}{2}\)(2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) Lại ở vị trí trong cùng phía \(\Rightarrow MN\\ \)BC

c) Áp dụng định lý Pytagore và 2 tam giác vuông\(BMH\) Và \(ANH\) ta có :

\(AH^2=AN^2+HN^2\)

\(BH^2=BM^2+MH^2\Rightarrow BM^2=BH^2-MH^2\)

\(\Rightarrow AH^2+BM^2=AN^2+HN^2+BH^2-MH^2=\left(AN^2+BH^2\right)+\left(HN^2-MH^2\right)\)

\(=AN^2+BH^2\)(đpcm)

Tam giác(TG) ABC cân tại A có đường cao AH => AH đồng thời là trung tuyến => BH=HC

TG ABC cân => Góc ABC = góc ACB (2goc đáy)

TG MBH = TG NCH (cạnh huyền-góc nhọn) => MB = NC (2ctu) 

mà AB = AC (vì TG ABC cân) và AM + BM = AB , AN + NC = AC 

=> AM = AN 

=> TG AMN cân

b)  AM = BM (CMT) và AN = NC (CMT) => MN là ddg TB của TG=> MN//BC

Bạn tham khảo bài này nha!

  a) Xét tam giác AMC và tam giác EMB (bạn viết sai thứ tự các đỉnh là tam giác AMC và tam giác EMB mới đúng) có: 
MA=ME ( giả thiết) 
CM=BM (vì M là trung điểm của BC) 
góc AMC=góc BME (2 góc đối đỉnh) 
Do đó tam giác AMC=tam giác EMB 
b) Vì tam giác AMC =tam giác EMB nên góc ACM= góc EBM mà chúng lại nằm ở vị trí so le trong nên AC song song với BE 
c) Xét tam giác AMI và tam giác EMK có: 
AI=EK(giả thiết) 
MA=ME ( giả thiết) 
góc MAI= góc KEM( 2 góc so le trong mà AC song song với BE) 
Do đó tam giác AMI và tam EMK 
Suy ra: góc AMI=góc KME 
Có góc KME + góc ẠMK=180 độ 
mà góc AMI=góc KME nên 
góc AMI+góc AMK =180 độ 
Suy ra ba điểm I;M;K thẳng hàng

a ) Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACE\) có : \(BD=CE\left(gt\right);\hept{\begin{cases}\widehat{B}=\widehat{C}\\AB=AC\end{cases}\left(gt\right)}\)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(cgc\right)\)

Xét \(\Delta BKE\)và \(\Delta CHD\) có : \(\widehat{B}=\widehat{C}\left(gt\right);\widehat{BKE}=\widehat{CHD}=90^0\left(gt\right);BE=DC\left(=BD+DE=EC+DE\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BKE=\Delta CHD\)(CH-GN) \(\Rightarrow DH=EK\)

b) Theo a  \(\Delta BKE\)= \(\Delta CHD\) \(\Rightarrow\widehat{KEB}=\widehat{HDC}\Rightarrow\Delta ODE\) cân tại O

c ) Có tam giác ODE cân tại O \(\Rightarrow OD=OE\)

\(DH=OD+OH;EK=OE+OK\) Mà HD = KE (cmt) ; OD = OE (cmt)=> OK = OH 

=> O nằm trên đường chung trực của HK

 \(\Delta BKE\)= \(\Delta CHD\)  theo a nên BK = HC ; Mà AB = AC (gt) => AK = AH => A nằm trên đường chung trực của HK

=> AO là đường trung trực của tam giác cân AHK => AO là đừng phân giác của \(\widehat{BAC}\)

hình vẽ và GT KL