Tìm GTNN của biểu thức K = x + 2 căn x -1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel
\(A\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+ab+b^2+bc+ca+c^2}\)
Theo BĐT : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)* đúng *
\(=\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2}{3}.\frac{x^2}{x^2+y^2}\)
Vậy \(A\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2}+\frac{z^2}{z^2+x^2}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}-1+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}-1+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+z^2}-1\right)\)
hay \(A\ge\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}\right)-2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right).\frac{9}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}-2=3-2=1\)
Vậy ta có đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có :
\(B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\frac{x-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có
\(S\ge\frac{1}{\frac{1+1998}{2}}+\frac{1}{\frac{2+1997}{2}}+..+\frac{1}{\frac{k+1998-k+1}{2}}+..+\frac{1}{\frac{1999}{2}}\)
hay \(S\ge\frac{2}{1999}+\frac{2}{1999}+..+\frac{2}{1999}=2.\frac{1998}{1999}\)
do dấu = không xảy ra nên \(S>2.\frac{1998}{1999}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a,\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}+2\sqrt{5}=3-\sqrt{5}+2\sqrt{5}\)
\(=3+\sqrt{5}\)
\(b,\sqrt{9a^2}-\sqrt{\left(a-3\right)^2}\)
\(\sqrt{\left(3a\right)^2}-\left|a-3\right|\)
\(\left|3a\right|-a+3\)
\(2a+3\)
bài 5
\(a,\sqrt{\left(5-x\right)^2}=3\)
\(\left|5-x\right|=3\)
\(\orbr{\begin{cases}5-x=3\\5-x=-3\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=2\left(TM\right)\\x=8\left(TM\right)\end{cases}}}\)
\(b,\sqrt{3x}-\sqrt{48x}+\sqrt{75x}=8\)
\(\sqrt{3x}\left(1-4+5\right)=8\)
\(\sqrt{3x}.0=8\left(KTM\right)\)
vậy pt vô nghiệm
giải hệ phương trình sau:
\(\hept{\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=3\\\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4\Leftrightarrow x+y+2+2\sqrt{xy+x+y+1}=16\)
mà \(x+y=3+\sqrt{xy}\)nên ta có
\(5+\sqrt{xy}+2\sqrt{xy+\sqrt{xy}+4}=16\Leftrightarrow2\sqrt{xy+\sqrt{xy}+4}=11-\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le11\\4\left(xy+\sqrt{xy}+4\right)=121-22\sqrt{xy}+xy\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le11\\3xy+26\sqrt{xy}-105=0\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}=3\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=6\\xy=9\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét ΔABC và ΔHBA có
ˆBAC=ˆBHA(=900)BAC^=BHA^(=900)
ˆABHABH^ chung
Do đó: ΔABC∼ΔHBA(g-g)
b) Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
BC2=AB2+AC2BC2=AB2+AC2
⇔BC2=202+152=625⇔BC2=202+152=625
hay BC=√625=25cmBC=625=25cm
Ta có: ΔABC∼ΔHBA(cmt)
⇒ACHA=BCBAACHA=BCBA
hay 15AH=252015AH=2520
⇔AH=15⋅2025=30025=12cm⇔AH=15⋅2025=30025=12cm
Vậy: BC=25cm; AH=12cm
d) Ta có: ˆCAH+ˆBAH=ˆBACCAH^+BAH^=BAC^(tia AH nằm giữa hai tia AB,AC)
⇔ˆCAD=900−ˆBAHCAD^=900−BAH^(1)
Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC)
nên ˆABH+ˆBAH=900ABH^+BAH^=900(hai góc nhọn phụ nhau)
hay ˆABC=900−ˆBAHABC^=900−BAH^(2)
Từ (1) và (2) suy ra ˆCAD=ˆABCCAD^=ABC^
Ta có: CD//AB(gt)
AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)
Do đó: CD⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔBAC và ΔACD có
ˆABC=ˆCADABC^=CAD^(cmt)
ˆBAC=ˆACD(=900)BAC^=ACD^(=900)
Do đó: ΔBAC∼ΔACD(g-g)
⇒ABAC=ACCDABAC=ACCD
hay AC2=AB⋅DCAC2=AB⋅DC(đpcm)
\(K=x+2\sqrt{x-1}=x-1+2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2\ge\left(0+1\right)^2=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow x=1\)
Vậy GTNN K bằng 1 tại x = 1
bổ sung đk hộ mình x >= 1