Hi, thầy xin lỗi vì lúc chiều nhìn qua loa tưởng em thiếu giả thiết, không nhìn kĩ là em đã viết \(a,b,c\) nguyên. Tuy nhiên tác giả đã sai lầm khi chọn số \(\frac{1}{1000}\) vì nó làm bài toán này hơi tầm thường: Thực vậy, ta có thể chọn được giá trị của \(a,b,c\), ví dụ ta lấy \(a=14,b=-5,c=-4\to\left|a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\right|=14-5\sqrt{2}-4\sqrt{3}

Sau khi mua váy, bạn chắc chắn còn 3.000 tiền thừa. Bạn gửi trả bố 1.000, trả mẹ 1.000 nên chỉ còn nợ mỗi người: 50.000 - 1.000 = 49.000, tổng cộng nợ bố và mẹ: 49.000 + 49.000 = 98.000. Và bạn còn 1.000 tiền thừa.

Đến đây,

- Nếu bạn đưa nốt 1.000 cho bố hoặc mẹ thì bạn chỉ còn nợ bố và mẹ: 98.000 - 1.000 = 97.000 - bằng giá trị cái váy bạn mua.

- Nếu bạn giữ lại 1.000 và 97.000 giá trị cái váy sẽ có tổng là 98.000, bằng số tiền nợ bố mẹ

Do đó, bạn sẽ không bị mất đồng nào.

Kí hiệu \(x=HB,y=HC\).

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta được    \(xy=HB\times HC=HA^2=900.\)

Mặt khác \(\Delta ABC\sim\Delta HBA\to\frac{AB}{AC}=\frac{HB}{HA}\to\frac{5}{6}=\frac{x}{30}\to x=\frac{5}{6}\times30=25\left(\text{cm}\right).\)

Suy ra \(y=\frac{900}{x}=\frac{900}{25}=36\left(\text{cm}\right).\) Tóm lại ta thu được \(HB=25\left(\text{cm}\right),HC=30\left(\text{cm}\right).\)

Đặt AB=5t thì AC=6t. Khi đó BC= V(25t^2+36t^2)= t.V61 (đl Pitago) 
Mà AB.AC=BC.AH (vì chúng cùng bằng 2 lần diện tích ABC) , từ đó 5t.6t=t.V61.30, vậy t=V61. 
Suy ra AB=5V61; AC=6V61 và BC=61 cm 
Ta có AB^2=BH.BC ---> BH= AB^2/BC = (5V61)^2/61 =25 cm

Bài hay quá!

Điểm cách đều tam giác ở đây chắc là tâm đường tròn nội tiếp?

Gọi điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp (O) với hai cạnh BC,AB là D,F. Gọi M là trung điểm của BC và phân giác AO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ở K.

Ta kí hiệu \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh BC,CA,AB như thông thường. Ta có ngay \(b+c=2a,\)(do giả thiết). Mặt khác \(AF=\frac{b+c-a}{2}=\frac{a}{2}=BM\).  Mặt khác \(\angle MBK=\frac{\angle A}{2}=\angle FAO\). Suy ra \(\Delta FAO=\Delta MBK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông). Do vậy \(\text{AO=BK, FO=KM}\), suy ra \(OD=KM\). . Gọi \(T=AK\cap BC\) suy ra \(T\) là trung điểm \(KO\). 

Cuối cùng để ý rằng \(\angle OBK=\frac{B}{2}+\frac{A}{2}=\angle BOK\to\Delta OBK\) cân ở \(K\), do đó \(KB=KO=KA\to AO=2OT.\) Vậy ta có \(\frac{AO}{OT}=2=\frac{AG}{GN}\to\) theo định lý Ta-let đảo thì OG song song BC.
 

Bài này hay đến nỗi nên thơ, hay đến nỗi nỗi làm rung động các nhà bác học  toán lừng danh trên thế giới

Điều kiện \(x\ge1.\)
Phương trình tương đương với \(\frac{1}{2}\sqrt{x-1}-\frac{9}{2}\sqrt{x-1}+\frac{24}{8}\sqrt{x-1}=-17\leftrightarrow-\sqrt{x-1}=-17\leftrightarrow\sqrt{x-1}=17\leftrightarrow x=290.\)