Cho x, y, z > 0 . Tìm GTNN của biểu thức :
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1: Đặt a/x là m; b/y là n; c/z là p, ta có: m + n + p = 2; 1/m + 1/n + 1/p = 0. Tìm m2 + n2 + p2 ?
Từ 1/m + 1/n + 1/p = 0
=> mnp(1/m + 1/n + 1/p) = 0
<=> mn + np + mp = 0
Mặt khác, ta có (m + n + p)2 = m2 + n2 + p2 + 2(mp + np + mp) = 4
Mà mn + np + mp = 0 => m2 + n2 + p2 + 0 = 4
Trả lời: Vậy a2/x2 + b2/y2 + c2/z2 = 4
đây là cách lớp 9 nên cố hiểu nhá , ngoài ra có thể tham khảo ở sách nâng cao và phát triển toán 8 trang 43
áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
với a=y+z, b=z+x, c=x+y ta đc
\(2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+x}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge1,5\)
vậy minA=1,5 khi y+z=x+z=x+y khi x=y=z
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)( 1 )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\ge1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{2}\)
Từ ( 1 )
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(P=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)