M=(a+b)(a²-ab+b²)=a²-ab+b²=a²+2ab+b²-3ab=(a+b)²-3ab=1-3ab

(a-b)²>=0

=>a²+b²>=2ab

=>(a+b)²>=4ab

=>4ab<=1

=>ab<=1/4

=>3ab<=3/4

=>1-3ab>=1/4

hay M>=1/4

GTNN của M=1/4 tại a+b=1 và a-b=0=>a=b=1/2

Áp dụng BĐT Bu -nhi a - côp xki ta có 

 (a + b)² \(\le\) (1² + 1²).(a² + b²) => 1/2 \(\le\) (a² + b²) => 1/4 \(\le\) (a² + b²)²

Tiếp tục áp dụng BĐT Bu -nhi a - côp xki ta có 

\(\frac{1}{4}\le\left(a^2+b^2\right)^2=\left(a\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{b}.\sqrt{b}\right)^2\le\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)=a^3+b^3\)

=> Min(a³ + b³) = 1/4 khi a = b = 1/2

DK:x>=3/2

=>2x-3=(x-3)²

=>2x-3=x²-6x+9

=>x²-8x+12=0

=>x²-6x-2x+12=0

=>(x-6)(x-2)=0

x=6 hoặc x=2

Tam giác ABI có cạnh AB < AI => góc ABI > góc AIB

Kẻ AH vuông góc với BD . Đặt BH = x;  AH = y 

+) Nếu H nằm trong đoạn BI

Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông AHB có: AH² + BH² = AB² => y² +  x² = 36    (1)

HI = 4 - x

Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông AHI có: AH² + HI² = AI² => y² + (4 - x)² = 64 => y² + x² + 16 - 8x = 64    (2)

Từ (1)(2) => 36 + 16 - 8x = 64 => 8x = -12 => Loại 

=> H nằm ngoài đoạn BI về phía B

HI = x + 4 

Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông AHI có: AH² + HI² = AI² => y² + (x+ 4)² = 64 => y² + x² + 8x + 16 = 64 (3)

Từ (1)(3) => 36 + 16 + 8x = 64 => 8x = 12 => x = 1,5

=> y² = 33,75 

HD = x + 4 + 6 = 11,5 

Áp dụng ĐL Pita go trong tam giác vuông AHD có: AD²  = y² + HD² => AD² = 33,75 + 11,5² = 166 => AD = \(\sqrt{166}\approx12,88\) (cm) 

\(\frac{2\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}+5}=\frac{5}{11}\)

\(11\cdot\left(2\sqrt{x}+1\right)=5\cdot\left(3\sqrt{x}+5\right)\)

\(22\sqrt{x}+11=15\sqrt{x}+25\)

\(22\sqrt{x}-15\sqrt{x}=25-11\)

\(7\sqrt{x}=14\)

\(\sqrt{x}=2\)

x = 4

nhầm \(\Rightarrow11\left(2\sqrt{x}+1\right)=5\left(3\sqrt{x+5}\right)\Rightarrow121\left(2\sqrt{x}+1\right)^2=25\left(\sqrt{x+5}\right)^2\)

\(\Rightarrow484x+484\sqrt{x}+121=25x+125\)

\(\Rightarrow459x+484\sqrt{x}-4=0\)

Giải denta ra ta đc kết quả