Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.  Do đó  \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\). BĐT đã cho tương đương với:

\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{y+z-x}{x}+\frac{x+z-y}{y}+\frac{x+y-z}{z}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\ge6\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge6\)(1)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\). Tương tự ta có  \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\). Cộng từng vế ta có: (1) đúng suy ra đpcm.

Bình phương A ta được A=\(8+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)

A min khi (x-2)(6-x) nhỏ nhất tương đương vs x=2 hoặc x=6. khi đó A=2 là nhỏ nhất

A max khi (x-2)(6-x) lớn nhất do 2 số kia có tổng ko đổi nên tích lớn nhất khi x-2=6-x tương đương với x=4

khi đó A=4 là lớn nhất

\(A^2=x-2+6-x+2\text{ }\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}=4+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\ge4\)

Vậy GTNN là 2 tại A x = 2 ; x = 6 

Vì  \(2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\le x-2+6-x=4\)

=> \(A^2\le4+4=8\Rightarrow A\le2\sqrt{2}\)

Vậy GTLN của A là ... tại x = 4 

Viết lại A = \(\frac{\text{ }\sqrt{z-5}}{z}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\)

Ta có : \(\sqrt{5\left(z-5\right)}\le\frac{5+z-5}{2}=\frac{z}{2}\Rightarrow\sqrt{z-5}\le\frac{z}{2\sqrt{5}}\) => \(\frac{z-5}{z}\le\frac{1}{2\sqrt{5}}\)  

tương tự \(\sqrt{y-4}\le\frac{y}{4}\Rightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}\le\frac{1}{4}\)  

            \(\frac{\sqrt{x-3}}{x}\le\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

=> A \(\le\frac{1}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

Vậy GTLN .... tại x = 6 ; y = 8 ; z = 10