ta co :2009^1du 2009 (mod 2011)    ;     2009^2 du 4(mod 2011)   ;     2009^10 du 1024(mod 2011)  ;    2009^20 du 845(mod 2011)       ;     2009^40du120(mod 2011)           ;2009^100 du 1450 (mod 2011)         ;2009^200 du 200(mod2011)          ;           2009^400 du503(mod 2011)         2009^1000 du 1194(mod 2011)            ;2009^2000 du 1848 mod2011                                                                                                                                                   ma 2009^2011=2009^2000.2009^10.2009    =>2009^2011 du 1848.1024.2009mod 2011                                                 hay 2009^2011 chia cho 2011du2009

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân:

\(a+b+c=a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}\ge\frac{2\sqrt{a}\sqrt{b+c}}{a}=\frac{2\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự với 2 số còn lại, cộng theo vế ta được \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b+c;b=c+a;c=a+b\text{ }\Rightarrow a+b+c=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\text{ (loại)}\)

Vậy đẳng thức không xảy ra, ta có đpcm.

Gọi MH là đường cao kẻ từ M của tam giác MBC, AK là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Do MH vuông BC và AK vuông BC nên MH // AK

=> Theo Talet: \(\frac{ME}{AE}=\frac{MH}{AK}\)

Lại có: \(\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.MH.BC}{\frac{1}{2}.AK.BC}=\frac{MH}{MK}\)

Tương tự ta có: \(\frac{MF}{BF}=\frac{S_{MAC}}{S_{ABC}};\frac{MD}{CD}=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}\)

Cộng theo vế: \(\frac{ME}{AE}+\frac{MF}{BF}+\frac{MD}{CD}=\frac{S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

\(b=0\text{ thì }B=\frac{a^2}{a^2}+0=1\)

Xét \(b\ne0\)

\(B=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2}{1+\left(\frac{a}{b}+1\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{a}{b}+1\right)^2}=\frac{t^2}{1+\left(t+1\right)^2}+\frac{1}{t^2+\left(t+1\right)^2}\)\(\left(t=\frac{a}{b}\in R\right)\)

Dự đoán B nhỏ nhất khi a = b hay t = 1. t = 1 thì B = 2/5. Ta chứng minh \(B\ge\frac{2}{5}\)

Thật vậy, ta có:

 \(B=\left[\frac{t^2}{1+\left(t+1\right)^2}+\frac{1}{t^2+\left(t+1\right)^2}-\frac{2}{5}\right]+\frac{2}{5}\)

\(=\frac{2\left(t-1\right)^2\left(3t^2+5t+3\right)}{5\left[1+\left(t+1\right)^2\right]\left[t^2+\left(t+1\right)^2\right]}+\frac{2}{5}\)

\(=\frac{2\left(t-1\right)^2\left[3\left(t+\frac{5}{6}\right)^2+\frac{11}{12}\right]}{5\left[1+\left(t+1\right)^2\right]\left[t^2+\left(t+1\right)^2\right]}+\frac{2}{5}\)

\(\ge\frac{2}{5}\forall t\in R\)

Đẳng thức xảy ra khi \(t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)

Vậy GTNN của B là 2/5 đạt được khi \(a=b\ne0\)

\(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)

Mà \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}};\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}\ge0\)

=> \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}=0;\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)

HOặc \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}=1;\sqrt{\left(x-2013\right)^{14}}=0\)

\(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}=1\rightarrow x-2013\in\left\{-1;1\right\};x\in\left\{2014;2012\right\}\)

\(\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=0;x-2014=0;x=2014\)

=> x = 2014 (thích hợp)

\(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}=0;x-2013=0;x=2013\)

\(\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1;x-2014\in\left\{-1;1\right\};x\in\left\{2013;2015\right\}\)

=> x = 2013 (thích hợp)

Vậy x = 2013 hoặc x = 2014          

Đặt \(x-2003=t\)

Ta có: \(\sqrt{t^{10}}+\sqrt{\left(1-t\right)^{14}}=1\Leftrightarrow\left|t\right|^5+\left|1-t\right|^7=1\text{(*)}\)

\(\left(\text{*}\right)\Rightarrow\left|t\right|;\left|1-t\right|\le1\)

\(+t1\text{ (loại)}\)

\(+t=0\) thì \(\left(\text{*}\right)\) thỏa

\(+0

Nhìn bên trái thì 4 , phải thì 3 => HÌnh ảo 

Ta thấy: 16<18

\(\sqrt{65}\)< \(\sqrt{257}\) vì 65<257

=> 16+ \(\sqrt{65}\)< \(\sqrt{257}\)+18