S=1+(-2)+3+(-4)+...+2001+(-2002) 

= - 1 - 1 - ... - 1 có 1001 số -1

= -1.1001

= -1001

S= 1+(-2)+3+(-4)+...+1001+(-2002)

= - 1 - 1 - ... - 1 (có 1001 số 1)

= -1.1001=-1001 

xét n ⋮ 2 => n(5n + 3) ⋮ 2

xét n không chia hết cho 2 => n = 2k + 1

=> n(5n + 3) = (2k + 1)[5(2k + 1) + 3)

= (2k + 1)(10k + 8) 

= 2(5k + 4)(2k + 1) ⋮ 2

vậy với mọi n nguyên thì n(5n + 3) ⋮ 2

Đặt  A = n . (5n + 3 )

TH1 : n là số chẵn 

\(\Rightarrow\)n = 2k ( k \(\in Z\))

Khi đó ta có :  A = 2k . (5 . 2k +3 ) \(⋮2\)

TH2 : n là số lẻ 

\(\Rightarrow\)n = 2b + 1

Khi đó ta có : A = (2b + 1) . [ 5 .(2b + 1 ) + 3 ]

                      A = (2b+1) . ( 10b + 5 + 3 )

                      A = (2b + 1) . (10b + 8)

                      A = (2b + 1 ) . 2 . (5b + 4) \(⋮2\)

Vậy với   mọi n thuộc Z ta luôn có n .  (5n + 3 ) \(⋮2\)\(\rightarrowĐPCM\)

#HOK TỐT #

\(A=\frac{3}{2\cdot4}+\frac{3}{4\cdot6}+\frac{3}{6\cdot8}+...+\frac{3}{98\cdot100}\)

\(A=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{2\cdot4}+\frac{2}{4\cdot6}+\frac{2}{6\cdot8}+...+\frac{2}{98\cdot100}\right)\)

\(A=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{100}\right)\)

\(A=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\right)\)

\(A=\frac{3}{2}\cdot\frac{49}{100}=\frac{147}{200}\)

\(A=\frac{3}{2.4}+\frac{3}{4.6}+\frac{3}{6.8}+...+\frac{3}{98.100}\)

\(A=\frac{3}{2}.\left(\frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+\frac{2}{6.8}+...+\frac{2}{98.100}\right)\)

\(A=\frac{3}{2}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{98}+\frac{1}{100}\right)\)

\(A=\frac{3}{2}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\right)\)

\(A=\frac{3}{2}.\left(\frac{50}{100}-\frac{1}{100}\right)\)

\(A=\frac{3}{2}.\frac{49}{100}=\frac{147}{200}\)

Đặt D là UCLN(21n+4;14n+3)

=> 21n+4 chia hết cho D => 2(21n+4) chia hết cho D => 42n+8 chia hết cho D

=> 14n+3 chia hết cho D => 3(14n+3) chia hết cho D => 42n+9 chia hết cho D

Ta có : (42n+9)-(42n+8) chia hết cho D =>1 chia hết cho D => D=1 =>  21n+4/14n+3 là phân số tối giản 

Gọi d là ƯCLN (21n+4; 14n+3) (d thuộc N*)

=> 21n+4 và 14n+3 chia hết cho d

=> 2(21n+4) và 3(14n+3) chia hết cho d

=> 42n+8 và 42n+9 chia hết cho d

=> (42n+9)-(42n+8) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d vì d thuộc N*

=> d=1

=> đpcm

a)\(-3=\frac{-3}{1}\)

\(4=\frac{4}{1}\)

\(12=\frac{12}{1}\)

b)\(4=\frac{12}{3}\)

\(-5=\frac{-15}{3}\)

\(11=\frac{33}{3}\)

c)\(-7=\frac{21}{-3}\)

\(-16=\frac{48}{-3}\)

\(22=\frac{-66}{-3}\)

Bài 3.

a)      Viết các số sau dưới dạng phân số : -3; 4 ; 12 là: \(-\frac{3}{1};\frac{4}{1};\frac{12}{1}\)

b)     Viết các số sau dưới dạng phân số có mẫu số là 3:  4; -5 ; 11 là: \(\frac{12}{4};\frac{12}{3};-\frac{15}{3};\frac{33}{3}\)

c)      Viết các số sau dưới dạng phân số có mẫu số là -3:  -7; -16 ; 22 là:\(\frac{21}{-7};\frac{21}{-3};\frac{48}{-3};\frac{-66}{-3}\)

Theo bài ra ta có:

a:8 dư 2; a:9 dư 3; a:11 dư 5

-->(a-2)\(⋮\)8 ; (a-3)\(⋮\)9 ; (a-5)\(⋮\)11

-->\(\left(a-2+8\right)⋮8;\left(a-3+9\right)⋮9;\left(a-5+11\right)⋮11\)

-->\(\left(a+6\right)⋮8;\left(a+6\right)⋮9;\left(a+11\right)⋮11\)

-->\(\left(a+6\right)\in\)\(BC\left(8,9,11\right)\)

mà a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+6 nhỏ nhất

-->\(\left(a+6\right)\in BCNN\left(8,9,11\right)\)

Có (8,9,11)=1

nên BCNN(8,9,11)=8.9.11=792

-->a+6=792

a=792-6=786

Vậy.......

Ta có: \(n^2+1=\left(n-1\right)^2+2n\)

Để \(n^2+1\)chia hết cho n-1 thì 2n phải chia hết cho n-1

Ta có 2n=2(n-1)+2

Mà n thuộc N => n-1 thuộc N

=> n-1 thuộc Ư (2)={1;2}

Nếu n-1=1 => n=2

Nếu n-1=2 => n=3

a. n² + 1 ⋮ n - 1

=> n² - 1 + 2 ⋮ n - 1

=> (n - 1)(n + 1) + 2 ⋮ n - 1

=> 2 ⋮ n - 1

b, n² + 2n + 6 ⋮ n + 4 

=> n² + 8n + 16 - 6n - 10 ⋮ n + 4

=> (n + 4)² - (6n + 10) ⋮n + 4

=> 6n + 10 ⋮ n + 4

=> 6n + 24 - 14 ⋮ n + 4

=> 6(n + 4) - 14 ⋮ n + 4

=> 14 ⋮ n + 4