a. ta có : \(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{4}}=1\)

Vậy GTNN của P là 1

P không có giá trị lớn nhất.

h. ta có P thuộc Z thì \(P^2=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+\frac{x}{16}\) là số chính phương

mà \(16P=\frac{16}{x}+8+x\text{ nguyên}\) nên x là ước của 16

lập Bảng ta có :

Vậy chỉ có duy nhất x=4 thỏa mãn điều kiện P^2 là số chính phương, thay lại thấy thỏa mãn 

g. Không so sánh được nhé

ta có :

\(\frac{1}{cos^2x}=\frac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x}=1+\left(\frac{sinx}{cosx}\right)^2=1+tan^2x\)

\(\frac{1}{sin^2x}=\frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x}=1+\left(\frac{cosx}{sinx}\right)^2=1+cot^2x\)

ta có :

\(\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}=\left|x+1\right|+\left|x+2\right|\ge\left|x+1-x-2\right|=1\)

Dấu bằng xảy ra khi : \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\le0\Leftrightarrow-2\le x\le-1\)

ta có :

\(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+1\)

\(\frac{x^2+x+1}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{\left(x+1\right)^2-x}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}=x-\sqrt{x}+1\)

Mình gửi câu hỏi

ok giúp mình có 1 tiick nha

Dễ thấy P>0 nên ta có :

\(\frac{1}{P}=\frac{a+\sqrt{a}+1}{5\sqrt{a}+1}=\frac{1}{5}\left(\sqrt{a}+\frac{4}{5}\right)+\frac{21}{25\left(5\sqrt{a}+1\right)}=\left(\frac{5\sqrt{a}+1}{25}\right)+\frac{21}{25\left(5\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3}{25}\)

\(\ge\frac{2\sqrt{21}}{25}+\frac{3}{25}=\frac{3+2\sqrt{21}}{25}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{25}{3+2\sqrt{21}}\)là GTLN của P

còn P không có giá trị nhỏ nhất nhé

b, bài này theo mình nghĩ chỉ có GTLN thôi, nếu có GTNN thì bày mình nhé :))  \(P=-\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{-3\left(\sqrt{x}+3\right)+9}{\sqrt{x}+3}=-3+\frac{9}{\sqrt{x}+3}\) 

Ta có : \(\sqrt{x}+3\ge3\Rightarrow\frac{9}{\sqrt{x}+3}\le\frac{9}{3}=3\)

\(\Rightarrow P=-3+\frac{9}{\sqrt{x}+3}\le-3+3=0\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 0 

Vậy GTLN của P bằng 0 tại x = 0 

e, \(P>-1\Leftrightarrow P+1>0\Leftrightarrow\frac{-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+1>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-3\sqrt{x}+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}>0\Leftrightarrow\frac{3-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}>0\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}< 0\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}-3< 0\Leftrightarrow x< \frac{9}{4}\)

Kết hợp với đk : \(0< x< \frac{9}{4}\)

g, Xét  \(P=-\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\) có \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow-3\sqrt{x}\le0\)mà \(\sqrt{x}+3>0\)

\(\Rightarrow P=-\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\le0\)

Xét \(1=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)mà \(\sqrt{x}+3>0\)

Vậy P < 1 

\(\left(\frac{2x+1}{x\sqrt{x}-1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\left(1-\frac{x-2}{x+\sqrt{x}+1}\right)=\left(\frac{2x+1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{x+\sqrt{x}+1-x+2}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)

\(\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}:\frac{\sqrt{x}+3}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

\(b.\frac{2x+1}{x-7\sqrt{x}+12}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-4}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}=\frac{2x+1-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}\)

\(=\frac{3x-7\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-4}\)

\(c.\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}-\frac{5}{x+\sqrt{x}-6}+\frac{1}{2-\sqrt{x}}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)-5-\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x-\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)\(=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

giúp mình :(