\(A=x\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(x^2=1-x^2\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có:

\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3+3+3=9\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le3\)

Giả sử: \(a\ge b\ge c\)

Ta cần chứng minh.

\(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\le1\)

\(\Leftrightarrow a^2c+c^2b+b^2a+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-abc-8\le0\)

Ta có:

\(a^2c+c^2b+b^2a+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-abc-8\)

\(\le a^2c+c^2b+b^2a-abc-2\)

\(\le a^2c+b^2c+b\left(3-a^2-b^2\right)-abc-2\)

\(=-\left(b-1\right)^2\left(b+2\right)-a\left(b-c\right)\left(a-b\right)\le0\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Câu này t biết làm nè

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}\)

suy ra dpcm

tck nha

hình như có dấu + giữa 2 phân số

Đúng rồi Thắng , bài này đúng ra phải là \(A=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)

\(A=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 

\(x^4+8xy^3=x^4+8.xy.y^2\le x^4+4\left(x^2y^2+y^4\right)=\left(x^2+2y^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8xy^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}\)

\(\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}=\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+y^2+xy\right)}\le\frac{x^2+3y^2+2xy}{2}=\frac{2y^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\le\frac{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}{2}=x^2+2y^2\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)

Vậy minA = 1 tại x = y > 0