Vì x, y > =0 theo BĐT Cô-si

\(x^6+y^9=\frac{1}{4}x^6+\frac{1}{4}x^6+\frac{1}{4}x^6+\frac{1}{4}x^6+\frac{1}{4}y^9+\frac{1}{4}y^9+\frac{1}{4}y^9+\frac{1}{4}y^9+16+16+16+16-64\)

\(\ge12\sqrt[12]{\left(\frac{1}{4}x^6\right)^4.\left(\frac{1}{4}y^9\right)^4.16^4}-64=12\sqrt[12]{x^{24}y^{36}}-64=12x^2y^3-64\)

\(\Rightarrow\frac{x^6+y^9}{4}\ge\frac{12x^2y^3-64}{4}=3x^2y^3-16\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{4}x^6=\frac{1}{4}y^9=16\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=\sqrt[9]{64}\end{cases}}\)

Vì a, b, c > =0 theo BĐT Cô-si

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta được  \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=9abc\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Theo BĐT Cô-si

\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2.1}=2a\)

\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2.1}=2b\)

\(c^2+1\ge2\sqrt{c^2.1}=2c\)

Cộng vế theo vế:  \(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}a^2=1\\b^2=1\\c^2=1\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  a = b = c = 1.

Giống câu này mà Câu hỏi của Hà Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath 

mk lấy đề câu trên luôn để dễ c/m nha:  \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3=\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)

Biến đổi tương đương

\(8\left(a^3+b^3\right)\ge2\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow8a^3+8b^3-2a^3-2b^3-6a^2b-6ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)  (luôn đúng vì a+b>=0)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow a=b\)

sử dụng cô si là ra

\(\forall a,b\in R\)  ta luôn có  \(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\)

Ta biến đổi tương đương biểu thức đã cho

\(\frac{\left|a+b\right|}{1+\left|a+b\right|}\le\frac{\left|a\right|+\left|b\right|}{1+\left|a\right|+\left|b\right|}\)  (*)

\(\Leftrightarrow\left|a+b\right|.\left(1+\left|a\right|+\left|b\right|\right)-\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right).\left(1+\left|a+b\right|\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left|a+b\right|+\left|a+b\right|.\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)-\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)-\left|a+b\right|.\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left|a+b\right|-\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\)  (luôn đúng)

Do đó (*) được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.

Ta có

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}\)   (vì xy=1)

\(=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x-y=\frac{2}{x-y}\\xy=1\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)

cái trong dấu căn lớn sửa lại là  \(2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}\)  nha bạn

Sửa đề  \(\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge2\)

Ta có

\(\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2+1+1}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+1}.\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}=2\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)  \(\Leftrightarrow\)  x = 0