Rút gọn biểu thức sau:
\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\)(x>=1)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(=\sqrt{3-\sqrt{5}}.\sqrt{2}.\left(\sqrt{5}-1\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)
\(=\sqrt{6-2\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}-1\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\left(\sqrt{5}-1\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)
\(=\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)
\(=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\left(3+\sqrt{5}\right)\)
\(=\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)
\(=2\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)
\(=2\left(9-\left(\sqrt{5}\right)^2\right)\)
\(=2.4=8\)
Chỉ vậy thôi nha bạn ^_^
\(C=\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}.\sqrt{3+\sqrt{5}.}\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\)
\(C=\sqrt{4}.\sqrt{6+2\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}-1\right)\)
\(C=2.\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}.\left(\sqrt{5}-1\right)\)
\(C=2.\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)=2.4=8\)
Bạn rút từ trong căn trước:
căn của 29-12 căn 5 ta biến đổi thành:
(2 căn 5 ) bình- 2.2 căn 5. 3 + 9
= ( 2 căn 5 -3 )2
rút gọn rồi ta sẽ ra kết quả
=\(\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{20-2.2\sqrt{5}.3+9}}\)
=\(\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}\)
=\(\sqrt{5}-\sqrt{3-l2\sqrt{5}-3l}\)
=\(\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}\)(vi \(2\sqrt{5}-3\)>0)
=\(\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)
=\(\sqrt{5}-\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}\)
=\(\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)
=\(\sqrt{5}-l\sqrt{5}-1l\)
=\(\sqrt{5}-\sqrt{5}+1\)(vi \(\sqrt{5}-1\)>0)
=1
abc = 1 \(\Rightarrow\frac{1}{abc}=1\Rightarrow xyz=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x}\); \(b=\frac{1}{y}\); \(c=\frac{1}{z}\)(x, y, z > 0)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^3}=x^3\\\frac{1}{b+c}=\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{1}{\frac{y+z}{yz}}=\frac{yz}{y+z}\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{x^3yz}{y+z}=\frac{x^2}{y+z}}\)
Tương tự, ta có :
\(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{y^2}{z+x}\)
\(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{z^2}{x+y}\)
Ta cần cm : \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng bđt Cau chy cho x, y, z > 0
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Ta cần cm : \(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Áp dụng bđt Cauchy cho x, y, z> 0
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
trong tập chuyên đề về Svac-xơ cũng có câu này , còn về cách chứng minh thì easy lắm
Do \(abc=1\)Nên có thể viết lại bđt cần chứng minh trở thành :
\(\frac{a^2b^2c^2}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{a^2b^2c^2}{b^3\left(a+c\right)}+\frac{a^2b^2c^2}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(< =>\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{a^2c^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Sử dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có :
\(\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{a^2c^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+ac+ba+bc+ca+cb}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(ab+bc+ca\ge3\), thật vậy :
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số thực dương ta có :
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abbcca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\)=\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}\)=\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{\frac{2}{6}=}\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\sqrt{81}=9\)
\(\sqrt{\frac{81}{27}}=\sqrt{3}\)
\(\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)
\(\sqrt{42}=\sqrt{42}\)
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
Làm bừa chả biết có đúng không nữa
\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\)
\(=\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{x-1}+1\)
\(=\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}\cdot1+1}=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}=\sqrt{x-1}+1\)