K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 8 2017

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}}=2\sqrt{\frac{a}{c}}\)

\(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=2\sqrt{\frac{b}{a}}\)

\(\frac{a}{b}+\frac{c}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{c}{a}}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{a}\right)\ge2\sqrt{\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{a}{c}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge2\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}\le1\)(đpcm)

14 tháng 4 2020

Gọi VT = T

Đặt \(x=3a+b+c;y=3b+c+a;z=3c+a+b\)

\(\Rightarrow x+y+z=5\left(a+b+c\right)=5\left(x-2a\right)=5\left(y-2b\right)\)

\(=5\left(z-2c\right)\)

\(\Rightarrow4x-\left(y+z\right)=10a;4y-\left(z+x\right)=10b;4z-\left(x+y\right)=10c\)

\(\Rightarrow10T=\frac{4x-\left(y+z\right)}{x}+\frac{4y-\left(z+x\right)}{y}+\frac{4z-\left(x+y\right)}{z}\)

\(=12-\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\le12-6=6\)

\(\Rightarrow T\le\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" khi a = b = c

29 tháng 8 2017

Áp dụng Cauchy Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)