a) Gọi ƯCLN(3n+1;5n+2) là d

ta có: 3n+1 chia hết cho d => 15n + 5 chia hết cho d

5n + 2 chia hết cho d => 15n + 6 chia hết cho d

=> 15n + 6 - 15n - 5 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> 3n+1/5n+2 là phân số tối giản

gọi d là ƯC(3n + 1; 5n + 2)  (d thuộc Z)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x+1⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+1\right)⋮d\\3\left(5n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+5⋮d\\15n+6⋮d\end{cases}}}}\)

=> (15n + 5) - (15n + 6) ⋮ d

=> 15n + 5 - 15n - 6 ⋮ d

=> (15n - 15n) - (6 - 5) ⋮ d

=> 0 - 1 ⋮ d

=> 1 ⋮ d

=> d = 1 hoặc d = -1

vậy \(\frac{3n+1}{5n+2}\) là phân số tối giản với mọi n thuộc N

 =x-1+1/(x-1)+1>=2căn((x-1)(1/(x-1))+1=3 
giá trị nhỏ nhất x+1/(x-1) là 3 (bđt Cô si) 
khi x=2

Áp dụng BĐT cosi ta có:

\(x-1>0;\frac{1}{x-1}>0\)

\(\Rightarrow x-1+\frac{1}{x-1}\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\frac{1}{x-1}}\)

\(\Rightarrow x-1+\frac{1}{x-1}\ge2\Rightarrow x+\frac{1}{x-1}\ge3\)

Vậy f(x) đạt GTNN là 3 khi x = 2

n^3+23n=n(n^2+23)=n(n^2-1)+24n

                                 =(n-1)n(n+1)+24n

Vi (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2, 1 bội của 3.

Mà (2,3)=1

Suy ra (n-1)n(n+1) chia hết cho 2*3=6

Mà 24n chia hết cho 6 ( do 24 chia hết cho 6)

Suy ra đccm

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\))

Vì (n-1)n(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của, 1 bội của 3

Mà ƯC(2,3)=1

Suy ra n^3-n chia hết cho 2*3=6

Ta có \(n^3-n=n.\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)

Vì \(n-1;n;n+1\)là 3 số nguyên liên tiếp 

Suy ra \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)chia hết cho 3

Mặt khác\(n-1;n;n+1\)là 3 số nguyên liên tiếp suy ra có ít nhất một số chẵn

Do đó \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)⋮2\)

Vì \(\text{Ư}CLN\left(2;3\right)=1\)suy ra \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)⋮6\)

Khi đó \(n^3-n⋮6\)

Vậy....

Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

        \(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zy\right)=x^2+y^2+z^2\)

        \(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=0\)

        \(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)

        \(\Rightarrow\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=0\)( Chia 2 vế cho xyz )

        \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

        \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)

Ta lại có : \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3-\left(\frac{3}{x^2y}+\frac{3}{xy^2}\right)+\frac{1}{z^3}\)

               \(=\left(-\frac{1}{z}\right)^3-\frac{3}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{1}{z^3}\)

                \(=-\frac{3}{xy}\cdot-\frac{1}{z}\)\(=\frac{3}{xyz}\)

                 \(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)         ( đpcm )

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

Ta lại co:

\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-\frac{3}{xyz}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{1}{xy}-\frac{1}{yz}-\frac{1}{zx}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)

a, x^4+x^3+x+1

=(x^4+x^3)+(x+1)

=x^3(x+1)+(x+1)

=(x+1)(x^3+1)

=(x+1)^2(x^2+x+1)

b,x^4-x^3-x^2+1

=(x^4-x^3)-(x^2-1)

=x^3(x-1)-(x-1)(x+1)

=(x-1)(x^3-x+1)