Gọi G là trung điểm AD ; E là trung điểm BD ; F là trung điểm AC ;

EF cắt AB và CD lần lượt tại I và K

GE ; GF lần lượt là đường trung bình tam giác ABD và ACD

=> GE=12AB; GF=12CD mà AB=CD

=>GE=GF

=>ˆGEF=ˆGFE

GE//AB =>ˆGEF=ˆAIK

GF//CD =>ˆGFE=ˆIKD

=>ˆAIK=ˆIKD

=> đpcm

\(\left(x-2\right)^{2x+3}=\left(x-2\right)^{2x+1}\)

\(\Rightarrow2x+3=2x+1\)

\(\Rightarrow2x-2x=1-3\)

\(\Rightarrow0=-2\left(\text{vô lí}\right)\)

Vậy \(x=\varnothing\)

\(\left(x-2\right)^{2x+3}=\left(x-2\right)^{2x+1}\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^{2x+3}-\left(x-2\right)^{2x+1}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^{2x+1}\left[\left(x-2\right)^2-1\right]=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-2\right)^{2x+1}=0\\\left(x-2\right)^2-1=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\\left(x-2\right)^2=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x-2=\pm1\Rightarrow x=3\text{ }or\text{ }x=1\end{cases}}\)

\(a,\frac{x}{19}=\frac{y}{21}\) và 2x - y = 34

Ta có : \(\frac{x}{19}=\frac{y}{21}\Leftrightarrow\frac{2x}{38}=\frac{y}{21}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{2x}{38}=\frac{y}{21}=\frac{2x-y}{38-21}=\frac{34}{17}=2\)

Vậy : \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{19}=2\\\frac{y}{21}=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=38\\y=42\end{cases}}\)

\(b,\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\)và x + y + z =  60

Ta có : \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{3+4+5}=\frac{60}{12}=5\)

Vậy : \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{3}=5\\\frac{y}{4}=5\\\frac{z}{5}=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=15\\y=20\\z=25\end{cases}}\)

\(\sqrt{35}< \sqrt{36}=6,\)

\(\sqrt{15}< \sqrt{16}=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{35}+\sqrt{15}< 6+4=10\)

Xét ∆ABM và ∆CDM ta có : 

AM = MD 

BM = MC 

AMB = CMD ( đối đỉnh) 

=> ∆ABM = ∆CDM(c.g.c)

=> BAM = CDM ( tg ứng )

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

=> AB//CD 

=> AB= CD

a) \(\frac{x-1}{x+2}< 0\)

Xét  2 trường hợp:

\(TH1:\hept{\begin{cases}x-1< 0\\x+2>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\x>-2\end{cases}\Rightarrow}-2< x< 1}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}x-1>0\\x+2< 0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x< -2\end{cases}\Rightarrow}x=\varnothing}\)

Vậy để \(\frac{x-1}{x+2}< 0\)thì \(-2< x< 1\)

b) \(\frac{x}{x-1}< 0\)

Xét 2 trường hợp:

\(TH1:\hept{\begin{cases}x>0\\x-1< 0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x< 1\end{cases}\Rightarrow0< x< 1}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}x< 0\\x-1>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\x>1\end{cases}\Rightarrow}x=\varnothing}\)

Vậy để \(\frac{x}{x-1}< 0\)thì \(0< x< 1\)

Ta có: \(\frac{x}{5}=\frac{y}{6}\) => \(\frac{x}{35}=\frac{y}{42}\)

         \(\frac{y}{7}=\frac{z}{8}\) => \(\frac{y}{42}=\frac{z}{48}\)

=> \(\frac{x}{35}=\frac{y}{42}=\frac{z}{48}\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

  \(\frac{x}{35}=\frac{y}{42}=\frac{z}{48}=\frac{x+y+z}{35+42+48}=\frac{250}{125}=2\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{35}=2\\\frac{y}{42}=2\\\frac{z}{48}=2\end{cases}}\)  =>  \(\hept{\begin{cases}x=2.35=70\\y=2.42=84\\z=2.48=96\end{cases}}\)

vậy ...

Lâu rồi ko làm quên hết r, giờ ko chắc. Phải dùng đến kiến thức lớp 9 để tìm đk của c.

Sửa đề: f(x) = \(ax^2+bx+c=0\)

\(x=f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=ax^2+bx+c-a\left(x-1\right)^2-b\left(x-1\right)-c\) (thay lần lượt x = "x" và x = "x-1" vào cái f(x) phía trên)

\(=2ax-a+b\)Tức là

\(2ax-a+b=x\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a=1\\-a+b=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\).

Thay vào suy ra \(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+c=0\) 

\(\Delta=\frac{1}{4}-2c\ge0\Rightarrow c\le\frac{1}{8}\)

Vậy a = b = 1/2, c thỏa mãn đk \(c\le\frac{1}{8}\)

Còn dùng kiến thức lớp 7 để tìm đk của c thì mình ko biết.

tth_newHIỂU R. CẢM ƠN NHÉ

\(a,A=1^2+3^2+5^2+...+99^2\)

\(A=1+2^2+3^2+4^2+5^2+...+99^2\)

\(A=1+2.\left(3-1\right)+3.\left(4-1\right)+...+99.\left(100-1\right)\)

\(A=\left(2.3+3.4+...+99.100\right)-\left(1+2+3+...+99\right)\)

\(A=\frac{99.100.101}{3}-\frac{99.\left(99+1\right)}{2}\)

\(A=333300-4950=328350\)