cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC . đường trong tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D .

a) chứng minh AD.AC = AE.AB

b) gọi H là giao điểm của BD và CE gọi K là giao điểm của AH và BC . Chứng minh AH vuông góc với BC

c) từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M,N là các tiếp điểm . chứng minh \(\widehat{ANM}=\widehat{AKN}\) 

d) chứng minh ba điểm M,H,N thẳng hàng.

ta có : 4x-2y=-6

\(\Leftrightarrow-4\frac{2m^2+8m+38}{9m+15}-2\frac{3m^2-24m-3}{9m+15}=-6\)

\(\Leftrightarrow-4\left(2m^2+8m+38\right)-2\left(3m^2-24-3\right)=-6\left(9m+15\right)\)

\(\Leftrightarrow-8m^2-32m-152-6m^2+48m+6=-54m-90\)

\(\Leftrightarrow-8m^2-32m-152-6m^2+48m+6+54m+90=0\)

\(\Leftrightarrow-14m^2+70m-56=0\)

\(\Leftrightarrow-7\left(2m^2-10m+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-10m+8=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2m-8m+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-8\right)\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2m-8=0\\m-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=4\\m=1\end{cases}}\)

\(hpt:\hept{\begin{cases}3x+2y=-8\\-3x+\left(m+5\right)y=\left(m-1\right)\left(m+1\right)\end{cases}}\)

từ pt 1 \(\Rightarrow y=\frac{-8-3x}{2}\)(3)

thay (3) vào pt 2 ta được

\(-3mx+\left(m+5\right)\left(\frac{-8-3x}{2}\right)=\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-6mx-8m-40-15x-3mx=2\left(m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow-9mx-15x=2m^2-2+40+8m\)

\(\Leftrightarrow x\left(-9m-15\right)=2m^2+8m+38\)(*)

để hệ phương trình có No duy nhất thì -9m-15\(\ne\)0 \(\Leftrightarrow m\ne\frac{-15}{9}\)

khi đó pt * có No: \(x=-\frac{2m^2+8m+38}{9m+15}\)

với \(x=-\frac{2m^2+8m+38}{9m+15}\)thì \(y=\left(-8+\frac{3\left(2m^2+8m+38\right)}{9m+15}\right):2=\frac{-8\left(9m+15\right)+3\left(2m^2+8m+38\right)}{9m+15}.\frac{1}{2}\)

\(=\frac{-72m-120+6m^2+24m+114}{9m+15}.\frac{1}{2}=\frac{6m^2-48m-6}{9m+15}.\frac{1}{2}=\frac{2\left(3m^2-24m-3\right)}{9m+15}.\frac{1}{2}=\frac{3m^2-24m-3}{9m+15}\)