Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5
b) Biết 8p + 1cũng là số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(n>3\) và không chia hết cho 3
\(\Rightarrow\)\(n^2>3\) và không chia hết cho 3.
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp \(n^2-1;n^2;n^2+1\)có:
\(n^2\)không chia hết cho \(3\)
\(\Rightarrow\) 1 trong 2 số \(n^2-1,n^2+1⋮3\) sẽ chia hết cho 3 (không xảy ra TH 2 số cùng chia hết cho 3)
\(\Rightarrow\) 1 trong 2 số là số nguyên tố (không thể cùng là số nguyên tố vì ko cùng chia hết cho 3)
Vậy \(n^2-1,n^2+1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.
Trả lời:
\(N+2\inƯ\left(111\right)=\left\{1;3;37;111\right\}\)
\(\Rightarrow\)\(n=\left\{-1;1;35;109\right\}\)
\(n-2\in B\left(11\right)=\left\{0;11;22;33;44;...\right\}\)
\(n=\left\{2;13;24;35;46;...\right\}\)
\(\Rightarrow\)\(n=35\)
Vậy số nguyên dương n cần tìm là : \(35\)
Giải
Giả sử d là ước nguyên tố của ab và a+b.
=> ab chia hết cho d và a+b chia hết cho d.
Vì ab chia hết cho d => a chia hết cho d và b chia hết cho d (Vì d là số nguyên tố)
Do vai trò của a và b bình đẳng nên:
Giả sử: a chia hết cho d => b chia hết cho d (vì a+b chia hết cho d)
=> d thuộc ƯC(a;b). Mà ƯCLN(a,b)=1
=> d=1(trái với d là số nguyên tố)
Do đó ab và a+b không thể có ước nguyên tố chung.
=> ƯCLN(ab,a+b)=1
Vậy ƯCLN(ab,a+b)=1
Giả sử \(d\) là ước nguyên tố của \(ab\) và \(a+b\).
\(\Rightarrow\) \(ab⋮d\) và \(a+b⋮d\)
Vì \(ab⋮d\) \(\Rightarrow\) \(a⋮d;b⋮d\) (Vì \(d\) là số nguyên tố)
Do vai trò của \(a\) và \(b\) bình đẳng nên:
Giả sử: \(a⋮d\) \(\Rightarrow\) \(b⋮d\) (Vì \(a+b⋮d\))
\(\Rightarrow\) \(d\inƯC\left(a;b\right)\). Mà \(ƯCLN\left(a,b\right)=1\)
\(\Rightarrow\) \(d=1\)(trái với \(d\) là số nguyên tố)
Do đó \(ab\) và \(a+b\) không thể có ước nguyên tố chung.
\(\Rightarrow\) \(ƯCLN\left(ab,a+b\right)=1\)
Vậy \(ƯCLN\left(ab,a+b\right)=1\)
Trả lời :
Gọi các bội chung cần tìm là k
126 = 2 . 3². 7
140 = 2² . 5 . 7
180 = 2² . 3² . 5
BCNN ( 126 ; 140 ; 180 ) = 2² . 3² . 5 . 7 = 1260
BC ( 126 ; 140 ; 180 ) = B ( 1260 ) = ( 0 ; 1260 ; 2520 ; 3780 ; 5040 ; 6300 ; 8820 ; 10080 ; ...)
Vì 5000 < k < 10000 nên k ∈ ( 5040 ; 6300 ; 8820 )
~ HT ~
Vậy các bội chung cần tìm là 5040 ; 6300 ; 8820.
Trả lời:
Gọi các bội chung cần tìm là \(k\)
\(126=2.3^2.7\)
\(140=2^2.5.7\)
\(180=2^2.3^2.5\)
\(BCNN\left(126;140;180\right)=2^2.3^2.5.7=1260\)
\(BC\left(126;140;180\right)=B\left(1260\right)=\left\{0;1260;2520;3780;5040;6300;8820;10080;...\right\}\)
Vì \(5000< k< 10000\) nên \(k\in\left\{5040;6300;8820\right\}\)
Vậy các bội chung cần tìm là \(\left\{5040;6300;8820\right\}\)
Gọi hai số đó là a và b (a > b)
Ta có ƯCLN(a; b) = 15
=> a = 15m và b = 15n (m > n; m,n nguyên tố cùng nhau (1))
Do đó a - b = 15m - 15n = 15.(m - n) = 90
=> m - n = 6 (2)
Do b < a < 200 nên n < m < 13. (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => (m; n) ∈ {(7; 1) ; (11; 5)}
=> (a; b) ∈ {(105; 15) ; (165; 75)
Gọi hai số đó là a và b (a > b)
Ta có: \(ƯCLN\left(a;b\right)=15\)
\(\Rightarrow\) \(a=15m\) và \(b=15n\) (\(m>n;m,n\) nguyên tố cùng nhau (1))
Do đó: \(a-b=15m-15n=15.\left(m-n\right)=90\)
\(\Rightarrow\) \(m-n=6\)(2)
Do: \(b< a< 200\) nên \(n< m< 13\). (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => \(\left(m;n\right)\in\left\{\left(7;1\right);\left(11;5\right)\right\}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(a;b\right)\in\left\{\left(105;15\right);\left(165;75\right)\right\}\)
\(a,=251+\left(-151\right)+\left(-144\right)+\left(-216\right)=100+-360=-260\)
\(b,=-178+\left(-172\right)+58+350=-350+350+58=58\)
\(c,=\left(-37\right)+\left(-163\right)+\left(-70\right)+354+146=-270+500=230\)
\(d,=\left(-4795\right)+\left(-205\right)+3029+1971=-5000+5000=0\)
\(a)\)\(251+\left(-144\right)+\left(-151\right)+\left(-216\right)\)
\(=\)\(251+\left(-151\right)+\left(-144\right)+\left(-216\right)\)
\(=\)\(100+\left(-360\right)\)
\(=\)\(100-360\)
\(=\)\(-260\)
\(b)\)\(-359+181+\left(-123\right)+350+\left(-172\right)\)
\(=\)\(-178+\left(-172\right)+58+350\)
\(=\)\(-350+350+58\)
\(=\)\(0+58\)
\(=\)\(58\)
a) (−439) + (+125) = -314
b) 2047 + (−2059) = -12
c) (−1028) + 3725 = 2697
c) (−49385) + (−27038) = -76423
d) (−743) + 344 = -399
#Học tốt!
Chúc bn ngày mới vui vẻ!
e) 35602 + (−39743)
\(a)\)Mọi số tự nhiên lớn hơn \(3\)khi chia cho 6 chỉ có thể xảy ra một trong \(6\)trường hợp: dư \(0\), dư \(2\), dư \(3\), dư \(4\), dư \(5\)
+) Nếu p chia \(6\)dư \(0\)thì \(p=6k\Rightarrow p\)là hơp số
+) Nếu p chia cho \(6\) dư \(1\) thì \(p=6k+1\)
+) Nếu p chia cho \(6\) dư \(2\) thì \(p=6k+2\Rightarrow p\)là hợp số.
+) Nếu p chia cho \(6\) dư \(3\) thì\(p=6k+3\Rightarrow p\) là hợp số.
+) Nếu p chia cho \(6\) dư \(4\) thì \(p=6k+4\Rightarrow p\) là hợp số.
+) Nếu p chia cho \(6\) dư\(5\) thì \(p=6k+5\)
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn \(3\) chia cho \(6\) thì chỉ có thể dư \(1\) hoặc dư \(5\) tức là :
\(p=6k+1\) hoặc \(p=6k+5\)
b) Nếu p có dạng \(6k+1\) thì \(8p+1=8\left(6k+1\right)+1=48k+9⋮3\) ; số này là hợp số.
Vậy p không có dạng \(6k+1\) mà p có dạng \(6k+5\), khi đó \(4p+1=4\left(6k+5\right)+1=24k+21⋮3\) . Rõ ràng \(4p+1\)là hợp số.