k chia hết cho 2 nên k có dạng : \(2k\left(k\in Z\right)\)

Ta có : \(\left(m^3+20m\right)=\left[\left(2k\right)^3+20.2k\right]=8k^3+40k=8k\left(k^2+5\right)\)

\(k⋮2\Rightarrow k\left(k^2+5\right)⋮2\)

\(k⋮̸2\)thì : \(k\equiv1\left(mod2\right)\Leftrightarrow k^2\equiv1\left(mod2\right)\)

\(5\equiv-1\left(mod2\right)\Rightarrow k^2+5\equiv1+\left(-1\right)=0\left(mod2\right)\Rightarrow k\left(k^2+5\right)⋮2\)

\(\Rightarrow8k\left(k^2+5\right)⋮16\left(\cdot\right)\)

Xét : +> k chia hết cho 3 : \(k\left(k^2+5\right)⋮3\)

+> k chia 3 dư 1 : \(k\equiv1\left(mod3\right)\Leftrightarrow k^2\equiv1\left(mod3\right);5\equiv-1\left(mod3\right)\Rightarrow k^2+5\equiv1+\left(-1\right)=0\left(mod5\right)⋮3\)

+> k chia 3 dư 2 : \(k\equiv-1\left(mod3\right)\Leftrightarrow k^2\equiv\left(-1\right)\left(-1\right)=1\left(mod3\right);5\equiv-1\left(mod3\right)\Rightarrow k^2+5⋮3\)

\(\Rightarrow k\left(k^2+5\right)⋮3\left(\cdot\cdot\right)\)Mà 16 và 3 nguyên tố cùng nhau từ \(\left(\cdot\right);\left(\cdot\cdot\right)\Rightarrow8k\left(k^2-5\right)⋮16.3=48\left(đpcm\right).\)

\(X=\frac{2019}{20119}\)

x=2019/20119

\(x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1.\)

\(=x^2\left(x^3-1\right)+x^2+x+1\)

\(=x^2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left[x^2\left(x-1\right)+1\right]\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+1\right)\)

???!!!

Thật  ra là Charlie có nhiều hơn Bill mười tám cây bút . Bill có một phần ba là số bút của Charlie. Bill có bao nhiêu cây bút?​

Số cây bút của Bill là :
18x1/3=6 ( Cây)
Đ/số: Bill có 6 cây bút

Ta có: (2 - x)(4/5 - x) < 0

=> \(\hept{\begin{cases}2-x>0\\\frac{4}{5}-x< 0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}2-x< 0\\\frac{4}{5}-x>0\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}x>2\\x< \frac{4}{5}\end{cases}}\) (loại) hoặc \(\hept{\begin{cases}x< 2\\x>\frac{4}{5}\end{cases}}\)

=> \(\frac{4}{5}< x< 2\)

\(\left(2-x\right)\left(\frac{4}{5}-x\right)< 0\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2-x>0\\\frac{4}{5}-x< 0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2>x\\\frac{4}{5}< x\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\frac{4}{5}< x< 2\)

Th2 : \(\hept{\begin{cases}2-x< 0\\\frac{4}{5}-x>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2< x\\\frac{4}{5}>x\end{cases}}}\)\(\Rightarrow x\in\varnothing\)

Vậy \(\frac{4}{5}< x< 2\)

\(\frac{\sqrt{x-1}.\sqrt{2x+2}}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{\sqrt{x-1}.\sqrt{2\left(x+1\right)}}{\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}\)

\(=\frac{\sqrt{x-1}.\sqrt{2}.\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}.\sqrt{x+1}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}\)