Câu 1: (Hinh 1)

a) Gọi AO giao BC tại T. Áp dụng ĐL Thales, hệ quả ĐL Thales ta có các tỉ số:

\(\frac{AK}{AB}=\frac{CM}{BC};\frac{CF}{CA}=\frac{OM}{CA}=\frac{TO}{TA}=\frac{TE}{TB}=\frac{TM}{TC}=\frac{TE+TM}{TB+TC}=\frac{ME}{BC}\)

Suy ra \(\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=\frac{CM+BE+ME}{BC}=1\)(đpcm).

b) Dễ có \(\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB};\frac{FH}{BC}=\frac{BE+CM}{BC};\frac{MK}{CA}=\frac{BM}{BC}\). Từ đây suy ra:

\(\frac{DE}{AB}+\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{CA}=\frac{CE+BM+BE+CM}{BC}=\frac{2\left(BE+ME+CM\right)}{BC}=2\)(đpcm).

Câu 2: (Hình 2)

Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Khi đó dễ thấy \(\Delta\)CAE cân tại A.

Áp dụng hệ quả ĐL Thales có: \(\frac{AD}{CE}=\frac{BA}{BE}\) hay \(\frac{AD}{CE}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow AD=\frac{c.CE}{b+c}\)

Vì \(CE< AE+AC=2b\)(BĐT tam giác) nên \(AD< \frac{2bc}{b+c}\)(đpcm).

Câu 3: (Hình 3)

Gọi M và D thứ tự là trung điểm cạnh BC và chân đường phân giác ứng với đỉnh A của \(\Delta\)ABC.

Do G là trọng tâm \(\Delta\)ABC nên \(\frac{AG}{GM}=2\). Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có:

\(\frac{IA}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CD}=\frac{BA+CA}{BD+CD}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2\)

Suy ra \(\frac{IA}{ID}=\frac{GA}{GM}\left(=2\right)\). Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)AMD ta được IG // BC (đpcm).

CM: a) Xét t/giác ABM và t/giác ACN

có: AB = AC (gt)

 \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (vì t/giác ABC cân)

  BM = CN (gt)

=> t/giác ABM = t/giác ACN (c.g.c)

b) Ta có: BM + MD = BD

   CN + ND = CD

Mà BM = CN (gt); MD = ND (gt)

=> BD = CD

Xét t/giác ABD và t/giác ACD

có: AB = AC (gt)

  \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (vì t/giác ABC cân)

 BD = CD (cmt)

=> t/giác ABD = t/giác ACD (c.g.c)

=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (2 góc t/ứng)

=> AD là tia p/giác của \(\widehat{BAC}\)

c) Xét t/giác MEB = t/giác NFC

có: \(\widehat{BEM}=\widehat{CFN}=90^0\) (gt)

  BM = CN (gt)

    \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (vì t/giác ABC cân)

=> t/giác MEB = t/giác NFC (ch - gn)

d) Ta có: AB = AE + EB

 AC = AF + FA

mà AB = AC (gt); EB = FC (vì t/giác MEB = t/giác NFC)

=> AE = AF 

=> t/giác AEF cân tại A

=> \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (1)

T/giác ABC cân tại A
=> \(\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AEF}=\widehat{B}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // BC

e) Xét t/giác AEH và t/giác AFH

có: AE = AF (cmt)

 \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^0\) (gt)

 AH : chung

=> t/giác AEH = t/giác AFH (ch - cgv)

=> \(\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\) (2 góc t/ứng)

=> AH là tia p/giác của \(\widehat{A}\)

Mà AD cũng là tia p/giác của \(\widehat{A}\)

=> AH \(\equiv\) AD 

=> A, D, H thẳng hàng

M: a) Xét t/giác ABM và t/giác ACN

có: AB = AC (gt)

 $\hat{B}=\hat{C}$ (vì t/giác ABC cân)

  BM = CN (gt)

=> t/giác ABM = t/giác ACN (c.g.c)

b) Ta có: BM + MD = BD

   CN + ND = CD

Mà BM = CN (gt); MD = ND (gt)

=> BD = CD

Xét t/giác ABD và t/giác ACD

có: AB = AC (gt)

  $\hat{B}=\hat{C}$ (vì t/giác ABC cân)

 BD = CD (cmt)

=> t/giác ABD = t/giác ACD (c.g.c)

=> $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (2 góc t/ứng)

=> AD là tia p/giác của $\widehat{BAC}$

c) Xét t/giác MEB = t/giác NFC

có: $\widehat{BEM}=\widehat{CFN}=90^0$ (gt)

  BM = CN (gt)

    $\hat{B}=\hat{C}$ (vì t/giác ABC cân)

=> t/giác MEB = t/giác NFC (ch - gn)

d) Ta có: AB = AE + EB

 AC = AF + FA

mà AB = AC (gt); EB = FC (vì t/giác MEB = t/giác NFC)

=> AE = AF 

=> t/giác AEF cân tại A

=> $\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\genfrac{}{}{0ex}{}{180^0-\hat{A}}{2}$ (1)

T/giác ABC cân tại A
=> $\hat{B}=\hat{C}=\genfrac{}{}{0ex}{}{180^0-\hat{A}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\widehat{AEF}=\hat{B}$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // BC

e) Xét t/giác AEH và t/giác AFH

có: AE = AF (cmt)

 $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^0$ (gt)

 AH : chung

=> t/giác AEH = t/giác AFH (ch - cgv)

=> $\widehat{EAH}=\widehat{FAH}$ (2 góc t/ứng)

=> AH là tia p/giác của $\hat{A}$

Mà AD cũng là tia p/giác của $\hat{A}$

=> AH $\equiv$ AD 

=> A, D, H thẳng hàng

\(\frac{5}{11}\times\frac{7}{25}+\frac{15}{11}\times\frac{1}{5}\)

\(=\frac{5}{11}\times\left(\frac{7}{25}+\frac{1}{5}\right)\)

\(=\frac{5}{11}\times\left(\frac{7}{25}+\frac{5}{25}\right)\)

\(=\frac{5}{11}\times\frac{12}{25}\)

\(=\frac{12}{55}\)

Cách cô mk nhanh hơn cơ nhưng mk lại ko nhớ bn có cách khác ko

chữ y đằng sau số 9 bỏ chỉ có ssó 9 thôi

1x5y chia hết cho 2,5

=> y = 0

1x50 chia hết cho 3,6,9

=> 1x50 chia hết cho 9 (vì 1 số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3, mà vừa chia hết cho 2,3 thì chia hết cho 6)

=> 1 + x + 5 + 0 chia hết cho 9

=> 6 + x chia hết cho 9

=> x = 3.

Vậy số cần tìm là 1350

Để 1x5y chia hết cho 2 và 5 thì y=0 

Với y=0 thì 1x5y chia hết cho 3,6,9

=>1+x+5+0 chia hết cho 3,6,9

=>x=3

=>1350 chia hết cho 2,3,5.6,9.

3^{2x + 3} - 9^{x + 1} = 2.3¹⁰

<=> 3^{2x + 3} - (3²)^{x + 1} = 2.3¹⁰

<=> 3^{2x + 3} - 3^{2x+ 2} = 2.3¹⁰

<=> 3^{2x + 2} ( 3 - 1 ) = 2.3¹⁰

<=> 3^{2x + 2} . 2 = 2.3¹⁰

<=> 3^{2x + 2} = 3¹⁰

<=> 2x + 2 = 10

<=> 2x  = 8

<=> x = 4