\(VT=\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+\frac{1}{2ab}\)

\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2ab}=4+\frac{1}{2ab}\)

Ta có: \(\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) (BĐT AM-GM or CÔ si gì đó)

\(VT\ge4+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=4+2=6^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2ab\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

a, Ta có : ( x - y )^2>=0 => x^2-2xy+y^2 >= 0

                                <=> x^2+y^2>= 2xy ( đpcm)

b, Ta có: thay 1 = x +y +z

=> x^2+y^2+z^2 >= (x +y+z)/3

<=>x^2+y^2+z^2 + 1/3 >= (x+y+z)/3 + (1/3)

<=> x^2+1/9 +y^2+1/9+z^2+1/9  >= 2/3 ( * )

Áp dụng BĐT cô si có

x^2 + 1/9 >= 2.căn ( x^2/9)=2.x/3

y^2 +1/9 >= 2. căn ( y^2/9)=2y/3

z^2 +1/9>= 2. căn (z^2/9) = 2z/3

Cộng 3 cái lại

=> x^2 +1/9 +y^2 +1/9 +z^2 +1/9 >=2.( x+y+z)/3=2/3 => (*) đúng => đpcm.

K mk nhé

hok tốt

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+ac+bc+ab+a+b+c+1\)

Áp dụng BĐT thức Cô si cho 3 số , ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca+a+b+c+2\ge3+3+2=8\left(đpcm\right)\)

Bạn Huyền dài dòng quá! Dự đoán a = b = c = 1 cô si phát là ra=)

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)\(=8\sqrt{abc}=8^{\left(đpcm\right)}\)

a. Ta có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)

\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\\ \Rightarrow a^2+1\ge2a\left(đpcm\right)\)

b.

Theo câu a, ta có \(a^2+1\ge2a,\\ b^2+1\ge2b,\\ c^2+1\ge2c\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{b}{b^2+1}\le\frac{b}{2b}=\frac{1}{2},\frac{c}{c^2+1}\le\frac{c}{2c}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{3}{2}\)

nghiệm hơi xấu ,bạn xem có sai đề ko ạ