Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

Ta có:

\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)

\(=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT phụ \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{x}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Nhầm dòng thứ 3 dưới lên ạ:(

\(\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{x}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{y}{xyz\left(x+y+z\right)}\) mới đúng nha !

1:1=1*1

Ta có x.y=x+y=x-y

=>x.y-x+y-x+y=0

=(x-x-x)+(y-y-y)=0

=>3x.3y=0

3(x+y)=0

 x+y=0:3

x+y=0

=>x=0 và y=0

Chúc bn học tốt

A=2+2²+2³+.....+2⁶⁰

A=(2+2²)+(2³+2⁴)+.......+(2⁵⁹+2⁶⁰)

A=(2+2²)+2².(2+2²)+......+2⁵⁸.(2+2²)

A=6+2²+6+.......+2⁵⁸.6

A=6.(1+2²+......+2⁵⁸)

A=2.3.(1+2²+.....+2⁵⁸) \(⋮\)3

Vậy A\(⋮\)3

A=2+2²+2³+....+2⁶⁰

A=(2+2²+2³)+.....+(2⁵⁸+2⁵⁹+2⁶⁰)

A=(2+2²+2³)+.....+2⁵⁷.(2+2²+2³)

A=14+....+2⁵⁷.14

A=14.(1+...+2⁵⁷)

A=2.7.(1+....+2⁵⁷)\(⋮\)7

Vậy A\(⋮\)7

A=2+2²+2³+....+2⁶⁰

A=(2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶)+....+(2⁵⁵+2⁵⁶+2⁵⁷+2⁵⁸+2⁵⁹+2⁶⁰)

A=(2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶)+.....+2⁵⁴.(2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶)

A=126+...+2⁵⁴.126

A=126.(1+....+2⁵⁴)

A=42.3.(1+...+2⁵⁴) \(⋮\)42

Vậy A\(⋮\)42

Chúc bn học tốt

sory ae mình đăng nhầm

gọi số cần tìm ab sao cho 5a-1=b => b+1=5a;

5a chia hết cho 5 =>b+1 chia hết cho 5

Mà b là chữ số hàng đơn vị => 0<b+1<10

Suy ra b+1=5 => b=4 khi đó a=(4+1)/5=1

Vậy số cần tìm là 14

Ta có

\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{b-a}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}\left(1\right)\)

Tương tự ta có

\(\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}\left(2\right)\)

\(\frac{a-b}{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\left(3\right)\)

Từ (1) (2) và (3) ta có

\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\)

\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\left(đpcm\right)\)

\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{c-b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(c-a\right)+\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}\)

Làm tương tự ta được:\(\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}\)

                           \(\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\)

\(\Rightarrow\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\)

\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)

\(\Rightarrow\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\left(ĐPCM\right)\)

1 + 1 = 2

2 + 2 = 4

Trên olm ko đổi tên đc đâu, muốn đổi tên olm thì vào bingbe mà đổi, nó đổi cả bingbe và olm luôn!

Đổi tên đi rồi giải cho . Đx gọi là những bài toán khó không cần lo thế câu này cũng không giải được

\(ĐK:1-x-2x^2\ge0\)

Ta có:

Min

\(B=\frac{x}{2}+\sqrt{1-x-2x^2}=\left(\sqrt{x+1}+\frac{\sqrt{1-2x}}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\text{ }\ge-\frac{5}{4}\)

Dau '='' xay ra khi \(x=-\frac{1}{2}\)

Max

Ta có:

\(B=\frac{x}{2}+\sqrt{1-x-2x^2}=\frac{x}{2}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(1-2x\right)}\le\frac{x}{2}+\frac{2-x}{2}=1\)

Da '=' xay ra khi \(x=0\)

Đặt: \(t=\sqrt{x^2+1}>0\)

ta có pt ẩn t tham số x.

\(\left(4x-1\right)t=2t^2-2x\)

<=> \(2t^2-\left(4x-1\right)t-2x=0\)

\(\Delta=\left(4x-1\right)^2+4.2.2x=\left(4x+1\right)^2\)

=> \(\orbr{\begin{cases}t=\frac{4x-1-\left(4x+1\right)}{4}=0\left(loai\right)\\t=\frac{4x-1+\left(4x+1\right)}{4}=2x\end{cases}}\)

Với t = 2x => \(\sqrt{x^2+1}=2x\)

=> \(x^2+1=4x^2\)

<=> \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Thay vào phương trình để thử nghiệm nếu thỏa mãn thì nhận còn ko thỏa mãn loại.