\(\left(x:3-4\right).5=15\)

\(\Leftrightarrow x:3-4=3\)

\(\Leftrightarrow x:3=7\)

\(\Leftrightarrow x=21\)

Vậy ........

(x : 3 - 4).5 = 15

 x : 3 - 4     = 15 : 5

 x : 3 - 4     = 3

 x : 3          = 3 + 4

 x : 3          = 7

 x               = 7.3

 x               = 21

Ta có: \(P=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z-1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta có:

\(\left(1+x+1+y+1+z\right)\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{3+x+y+z}=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow A\le3-\frac{9}{4}=\frac{12}{4}-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow Max_A=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

Thay \(x+y+z=1\)vào biểu thức 

\(\Rightarrow P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{x}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{y}{x+2y+z}=\frac{y}{x+y+y+z}\le\frac{y}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{z}{x+y+2z}=\frac{z}{x+z+y+z}\le\frac{z}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{y}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)\(+\frac{z}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{4\left(x+y\right)}+\frac{x}{4\left(x+z\right)}+\frac{y}{4\left(x+y\right)}+\frac{y}{4\left(y+z\right)}+\frac{z}{4\left(x+z\right)}\)\(+\frac{z}{4\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{4\left(x+y\right)}+\frac{y}{4\left(x+y\right)}+\frac{x}{4\left(x+z\right)}+\frac{z}{4\left(x+z\right)}+\frac{y}{4\left(y+z\right)}\)\(+\frac{z}{4\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x+y}{4\left(x+y\right)}+\frac{x+z}{4\left(x+z\right)}+\frac{y+z}{4\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)

Vậy \(P_{max}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)

 ~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~

Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))

\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))

\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)

Ta lại có: \(BD\perp HK\)

\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)

\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)

\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)

Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))

Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)

\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )

Ủa bạn ơi sao phụ nhau? Dòng đầu ấy

\(A=\frac{\frac{1}{2}a^2\left(\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+1\right)\left[\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}\right)^2+\left(\sqrt[3]{b}-1\right)^2+\left(\sqrt[3]{c}-1\right)^2\right]}{2\left(a+2\right)\left(a+\sqrt[3]{bc}\right)}\ge0\)

\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}=\Sigma_{cyc}A+\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a-1\right)^2}{3\left(a+2\right)}+\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1\ge\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1=\frac{3}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số 

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

Chứng minh rằng : \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow18\ge3\left(3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}\right)\)

\(\Leftrightarrow18\ge9+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}+3\sqrt[3]{ab}\)

\(\Leftrightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+1\ge3\sqrt[3]{ab}\\b+c+1\ge3\sqrt[3]{bc}\\c+a+1\ge3\sqrt[3]{ca}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)+3\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)

\(\Rightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\left(đpcm\right)\)

Vì \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)

Mà \(\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

Bạn tự vẽ hình nhé!

a) + b) Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta CFE\)có: 

\(AE=EC\)( E là trung điểm của AC )

\(DE=EF\)( E là trung điểm của DF )

\(\widehat{AED}=\widehat{CEF}\)( 2 góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta CFE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AD=CF\)( 2 cạnh tương ứng )

mà \(AD=DB\)( D là trung điểm của AB )

nên \(DB=CF\)

c) Ta có: \(\widehat{EAD}=\widehat{ECF}\left(\Delta EDA=\Delta EFC\right)\)

mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

nên \(AD//CF,AB//CF\)

d) Xét \(\Delta BDC\)và \(\Delta FCD\)có: 

\(BD=FC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BDC}=\widehat{FCD}\)( 2 góc so le trong, \(AD//CF\))

CD là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BDC=\Delta FCD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{FDC}\)( 2 góc tương ứng )

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow DE//BC\)

Chúc bạn học tốt !!!

a, Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CDE\) có:

\(AE=CE\left(E-là-tr.điểm-của-AC\right)\)

\(\widehat{A1}=\widehat{A2}\left(đ.đỉnh\right)\)

\(DE=FE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta CFE\left(c-g-c\right)\left(1\right)\)

b, Từ \(\left(1\right)\Rightarrow AD=CF\left(2c.t.ứ\right)\left(2\right)\)

Mà: \(AD=BD\left(D-là-tr.điểm-của-AB\right)\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow DB=CF\)

c, Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\widehat{A1}=\widehat{C1}\)

Mà 2 góc đang ở vị trí so le trong nên:

\(\Rightarrow AB//CF\)

d, Xét \(\Delta ABC\) có:

\(D\) là trung điểm của \(AB\)

\(E\) là trung điểm của \(AC\)

\(\Rightarrow DE//BC\)

\(6x^2-7x+2=0\)

Ta có \(\Delta=7^2-4.6.2=1,\sqrt{\Delta}=1\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{7+1}{12}=\frac{2}{3}\\x=\frac{7-1}{12}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(x^6-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+1\right)\left(x^3-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)

Dễ thấy \(\hept{\begin{cases}x^2-x+1>0\forall x\\x^2+x+1>0\forall x\end{cases}}\)nên \(\hept{\begin{cases}x+1=0\\x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=\pm1\)

\(6x^2-7x+2=0\)

\(\Leftrightarrow6x^2-3x-4x+2=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(2x-1\right)-2\left(2x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-2=0\\2x-1=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của pt là \(S=\left\{\frac{2}{3};\frac{1}{2}\right\}\)

\(x^6-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^6=1\)

\(\Leftrightarrow x=\pm1\)

Vậy tập nghiệm của pt là : \(S=\left\{\pm1\right\}\)

1-2+3-4+5-6+...51-52+53-54

= ( 1 - 2 ) + ( 3 - 4 ) + ( 5 - 6 ) + ... + ( 51 - 52 ) + ( 53 - 54 )

= -1 + ( -1 ) + ( -1 ) + ( -1 ) +...+ ( -1 ) + ( -1 )

= -1 . 27

= -27

HỌC TỐT !

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +...+ 51 - 52 + 53 - 54 có 54 số

= (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) +...+ (51 - 52) + (53 - 54) có 54 : 2 = 27 cặp hiệu

= (-1) + (-1) + (-1) +...+ (-1) + (-1) có 27 số -1

= (-1).27

= (-27)

\(a,b,c\in\left[0;1\right]\)nên \(a\left(a-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow a^2-a\le0\Leftrightarrow a^2\le a\)

Tương tự ta có: \(b^2\le b;c^2\le c\)

Cộng từng vế của 3 bđt trên, ta được:

\(P\le a+b+c=2\)

Vậy MaxP = 2