Cm: a) Ta có: BA \(\perp\)AC (gt)

                        HD // AB (gt)

=> HD \(\perp\)AC => \(\widehat{HDA}=90^0\)

Ta lại có: AC \(\perp\)AB (gt)

   HE // AC (gt)

=> HE \(\perp\)AB => \(\widehat{HEA}=90^0\)

Xét tứ giác AEHD có: \(\widehat{A}=\widehat{AEH}=\widehat{HDA}=90^0\)

=> AEHD là HCN => AH = DE

b) Gọi O là giao điểm của AH và DE

Ta có: AEHD là HCN => OE = OH = OD = OA
=> t/giác OAD cân tại O => \(\widehat{OAD}=\widehat{ODA}\) (1)

Xét t/giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

-> AM = BM = MC = 1/2 BC
=> t/giác AMC cân tại M => \(\widehat{MAC}=\widehat{C}\)

Ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\) (phụ nhau)

  \(\widehat{C}+\widehat{HAC}=90^0\) (phụ nhau)

=> \(\widehat{B}=\widehat{HAC}\) hay \(\widehat{B}=\widehat{OAD}\) (2) 
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ODA}=\widehat{B}\)

Gọi I là giao điểm của MA và ED

Xét t/giác IAD có: \(\widehat{IAD}+\widehat{IDA}+\widehat{AID}=180^0\) (tổng 3 góc của 1 t/giác)

=> \(\widehat{AID}=180^0-\left(IAD+\widehat{IDA}\right)\)

hay \(\widehat{AID}=180^0-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180^0-90^0=90^0\)

=> \(AM\perp DE\)(Đpcm)

c) (thiếu đề)

quá dễ:

Phương trình hóa học của phản ứng

4Al+3O₂=2Al₂O₃

áp dụng định luật bảo toàn khối lượng, ta có

mAl+mO2=m_Al2O3

vì mO2 >0 => mAl<m_Al2O3

Vậy khối lượng của thanh nhôm lớn hơn ban đầu

\(2x\left(3x+2\right)-3x\left(2x+3\right)\)

\(=6x^2+4x-6x^2-9x\)

\(=-5x\)

= (x-y)(x+y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

học tốt

\(P=\frac{\left(2003^2\cdot2013+31\cdot2004-1\right)\left(2003\cdot2008+4\right)}{2004\cdot2005\cdot2006\cdot2007\cdot2008}\)

Đặt a=2004 ta có

\(P=\frac{\left[\left(x-1\right)^2\cdot\left(a+9\right)+31\cdot a-1\right]\left[\left(a-1\right)\left(a+4\right)+4\right]}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)}\)

\(=\frac{\left[\left(a^2-2a+1\right)\left(a+9\right)+31a-1\right]\left[\left(a^2+3a-4\right)+4\right]}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)}\)

\(=\frac{\left(a^3+9a^2-2a^2-18a+a+9+31a-1\right)\left(a^2+3a\right)}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)}\)

\(=\frac{\left(a^3+7a^2+14a+8\right)\left(a^2+3a\right)}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)}\)

\(=\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)}=1\)

Vậy \(P=1\)

Ui ko khó đâu chỉ lắm số thôi bạn ạ ~~~

Ta xét tử số: (2003^2.2013+31.2004-1)(2003.2008+4)

=[2003^2(2003+10)+(2003+1).31-1][2003(2003+5)+4]

=[2003^3+10.2003^2+31.2003+30][2003^2+5.2003+4]

Đặt 2003=a cho đỡ phức tạp

=(a^3+10a^2+31a+30)(a^2+5a+4)

Đến đây bạn phân tích đa thức thành nhân tử thôi

=(a+5)(a+2)(a+3)(a+1)(a+4)

Xét mẫu số khi đặt 2003=a

=> MS=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)

=> P=1

Vậy P=1.

Bài này cũng ko khó, bạn chú ý nhé !!

Có: a₁, a₂, a₃, ....., a₂₀₂₀ có tổng là 2019²⁰²⁰

=> a₁+ a₂₊ a_{3 +...+}  a₂₀₂₀ chia hết cho 3

Áp dụng bổ đề x^3-x chia hết cho 3

=> a₁  ^3 -a_{1   chia hết cho 3}

 a_{2 mũ 3 - a2 chia hết cho 3}

_.... 

_{a2019^3-a2019 chia hết cho 3}

_{=> a1 mũ 3 + a2 mũ 3 + ...+a 2019 mũ 3 - (a1+a2+...+a^2019) chia hết cho 3}

_Có a₁, a₂, a₃, ....., a₂₀₂₀ chia hết cho 3

=> a1 mũ 3 + a2 mũ 3 + ...+a 2019 mũ 3 chia hết cho 3

=> đpcm

Cm bổ đề x^3-x chia hết cho 3 nhé

=x(x-1)(x+1). Do là tích 3 số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 3 

   Xin lỗi các bạn:

CMR : a_1³   + a_2³  +a_3³ +....+ a_2020³ chia hết cho 3

Ta có

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)       hay \(M>1\)

\(M=\left(1-\frac{a}{b+a}\right)+\left(1-\frac{c}{b+c}\right)+\left(1-\frac{a}{a+c}\right)< 3-\left(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\right)\)

\(=3-1=2\)   hay \(M>2\)

Vậy \(1< M< 2\). Do đó M k thể là số nguyên dương

À bài nãy dễ thôi bạn. Lên cao bn sẽ gặp 1 dạng biến hóa nâng cao từ dạng này !!!

Do a,b,c là số nguyên dương

=> a/(a+b) >a/(a+b+c)

b/(b+c)>b/(a+b+c)

c/(c+a)>c/(a+b+c)

=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)>(a+b+c)/(a+b+c)=1

Lại có

a/(a+b)<(a+c)/(a+b+c)

b/(c+b)<(a+b)/(a+b+c)

c/(a+c)<(b+c)/(a+b+c)

=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)<2(a+b+c)/(a+b+c)=2

=> 1< a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2

=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) không là số nguyên