\(Cho:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1và:\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{x}=0.\\ CMR:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
6 tháng 2 2019
Ta có :\(y=\frac{x^2+2}{x^2+x+1}\)
\(\Leftrightarrow yx^2+yx+y=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(y-1\right)+yx+y-2=0\)(1)
*Xét y = 1 thì pt trở thành \(x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
*Xét \(y\ne1\)thì pt (1) là pt bậc 2 ẩn x
Có \(\Delta=y^2-4\left(y-1\right)\left(y-2\right)\)
\(=y^2-4\left(y^2-3y+2\right)\)
\(=y^2-4y^2+12y-8\)
\(=-3y^2+12y-8\)
Pt (1) có nghiệm khi \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3y^2+12y-8\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\le y\le\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\)
6 tháng 2 2019
Đề là tìm GTLN chứ nhỉ ?
Ta có : \(5x^2+8xy+5y^2=36\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+4\left(x^2+2xy+y^2\right)=36\)
\(\Leftrightarrow M+4\left(x+y\right)^2=36\)
\(\Leftrightarrow M=36-4\left(x+y\right)^2\le36\)
Dấu ''=" khi x = -y
Thế vào pt ban đầu sẽ tìm đc giá trị cụ thể của x ; y
NM
0
6 tháng 2 2019
Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4;....;n\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\)số,ta có:
\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}}\le\frac{1+1+1+....+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}\)
\(=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)
\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Lần lượt cho \(k=1;2;3;4;.....n\)rồi cộng lại,ta được:
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[5]{\frac{5}{4}}+....+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)
\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)
6 tháng 2 2019
Làm lại:))
Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4...;n\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\) số,ta có:
\(1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}\ge\left(k+1\right)\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\)
\(\Rightarrow\frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}\ge\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot....\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}\)
Mà \(\frac{1+1+....1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{1+1+1+....+1}{k+1}+\frac{\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)
\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Lần lượt thay \(k=1;2;3;....;n\)rồi cộng lại,ta được:
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[4]{\frac{5}{4}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)
\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)
6 tháng 2 2019
Đề khắm vậy -_- a + b = 3 - c thì viết luôn thành a + b + c = 3 cho rồi .... bày đặt
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\)
\(VT=a^3+b^3+c^3+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge a^3+b^3+c^3+\frac{18}{a+b+c}\)
\(=a^3+b^3+c^3+6\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số ta đc
\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}=3a\)
\(b^3+1+1\ge3b\)
\(c^3+1+1\ge3c\)
Cộng từng vế vào ta được
\(VT\ge a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
Lại có : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Phá ngoặc + chuyển vế -> tổng bình phương)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy ....
6 tháng 2 2019
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEC = 900.
CF là đường cao => CF ┴ AB => góc BFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: góc AEH = góc ADC = 900; góc A là góc chung
=> Δ AEH ˜ Δ ADC => AE/AD = AH/AC=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: góc BEC = góc ADC = 900; góc C là góc chung
=> Δ BEC ˜ Δ ADC => AE/AD = BC/AC => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có góc C1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ABC)
góc C2 = góc A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> góc C1 = góc C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ┴ HM => Δ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
=> góc C1 = góc E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
góc C1 = góc E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
góc E1 = góc E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
6 tháng 2 2019
A
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEC = 900.
CF là đường cao => CF ┴ AB => góc BFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: góc AEH = góc ADC = 900; góc A là góc chung
=> Δ AEH ˜ Δ ADC => AE/AD = AH/AC=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: góc BEC = góc ADC = 900; góc C là góc chung
=> Δ BEC ˜ Δ ADC => AE/AD = BC/AC => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có góc C1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ABC)
góc C2 = góc A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> góc C1 = góc C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ┴ HM => Δ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
=> góc C1 = góc E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
góc C1 = góc E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
góc E1 = góc E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bạn chỉ cần bình phương PT x/a + y/b + z/c
và chỉ ra ayz + bxz + cxy = 0 ở PT 2 là xong
:D
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1-2\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1-2\cdot0=1(đpcm)\)