\(x^2+y^2-xy=x+y+2\)

theo đề bài ta có\(y^2-y\left(x+1\right)-x^2-x-2=0\)

xét denta\(\Delta=\left(-\left(x+1\right)\right)^2-4\left(x^2-x-2\right)=3\left(x+1\right)\left(3-x\right)\)

để pt có no => \(\Delta>=0\Rightarrow3>=x>=-1\)

thay x từ -1 đến 3 tính y (loại y ko nguyên)

Bạn chú ý x;y là số nguyên dương, như thế hiển nhiên ta sẽ có x+y>x−(y+6) nhưng mà theo điều giả sử x≥y+6  nên x−(y+6)≥0 với mọi x,y

Lai do x,y nguyên dương nên x+y≥1 Như vậy hiển nhiên là (x+y)^3>(x−y−6)^2 nên pt vô nghiệm

https://diendantoanhoc.net/topic/113122-gi%E1%BA%A3i-ph%C6%B0%C6%A1ng-tr%C3%ACnh-nghi%E1%BB%87m-nguy%C3%AAn-d%C6%B0%C6%A1ng-xy3x-y-62/

Đặt \(P=\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ca}+\frac{c}{c+2ab}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{a^2}{a^2+2bca}+\frac{b^2}{b^2+2cab}+\frac{c^2}{c^2+2abc}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )

\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+6abc}\)( \(a+b+c=3\))

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có: \(a+b+c=3\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow1\ge abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2\ge a^3b^3c^3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(ab+bc+ca\ge3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\ge3.\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{9}=1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\) 

                                đpcm

Bài này ngược dấu hay sao ý:

Ta dự đoán dấu "=" xảy ra tại a = b = c =1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\) (1)

Ta có: \(a^2+1\ge2a;2b^2+2\ge4b\Rightarrow a^2+2b^2+3=3c^2+3\ge2\left(a+2b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3c^2+3}{2}\ge a+2b\).Suy ra:\(\frac{9}{a+2b}\ge\frac{18}{3c^2+3}=\frac{6}{c^2+1}\) (2)

Ta sẽ c/m: \(\frac{6}{c^2+1}\ge\frac{3}{c}\).Ta có: \(VT=\frac{6}{c^2+1}=6\left(1-\frac{c^2}{c^2+1}\right)=6-\frac{6c^2}{c^2+1}\ge6-\frac{6c^2}{2c}=6-3c\) (3)

Ta sẽ c/m: \(6-3c\ge\frac{3}{c}\Leftrightarrow3c+\frac{3}{c}\le6\).Mặt khác,theo AM-GM

\(3c+\frac{3}{c}\ge2.\sqrt{3c.\frac{3}{c}}=2.3=6\Rightarrow\) mâu thuẫn?

a,b,c nó đã dương đâu sao bn dùng đc cô si vậy

\(\left(x-2\right)^2-3x-8=\left(1-x\right).\left(1+x\right)\)

\(x^2-4x+4-3x-8=1-x^2\)

\(x^2-4x+4-3x-8-1+x^2=0\)

\(2x^2-7x+3=0\)

Ta có :\(\Delta=\left(-7\right)^2-4.2.3\)

\(=25\)>0 

=> Phương trình có 2 nghiệm 

\(x_1=\frac{7+\sqrt{25}}{2.2}=3\)

\(x_2=\frac{7-\sqrt{25}}{2.2}=\frac{1}{2}\)