Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+5}\)

Cho hai số thực x,y khác 0 thay đổi và thỏa mãn \(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy.\)  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\frac{1}{x^3+y^3}\)

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + xyz = z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{2x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}+\frac{x^2\left(1+\sqrt{yz}\right)^2}{\left(y+z\right)\left(x^2+1\right)}..\)

g

Cho các số thực x,y thỏa mãn \(2x^2+y^2+xy\ge1.\) Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=x^2+y^2\) có dạng \(\frac{a-b\sqrt{b}}{c}\), trong đó a,b,c là các số nguyên dương

Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến thoã mãn:\(\frac{c}{b}\ne\frac{m_b}{m_c}\ne1\)

(mb, mc là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ B, C)

CMR: 2cotA = cotB + cotC

Cho tam giác ABC thỏa mãn \(\frac{m_b}{m_c}=\)\(\frac{c}{b}\)\(\ne1\)

(mb,mc là độ dài trung tuyến từ B,C

CMR \(2a^2=b^2+c^2\)

Một miếng bìa hình tam giác vuông, khi tăng mỗi cạnh góc vuông 2cm thì diện tích miếng bìa tăng 17cm². Khi giảm cạnh góc vuông này 3cm và cạnh góc vuông kia 1cm thì diện tích giảm 11cm². Tính độ dài 2 cạnh góc vuông.

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + xyz = z. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

\(P=\frac{2x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}+\frac{x^2\left(1+\sqrt{yz}\right)^2}{\left(y+z\right)\left(x^2+1\right)}\)

Cho a,b,c là các số thực dương tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{8a+3b+4\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc}\right)}{1+\left(a+b+c\right)^2}..\)