12 + 4 = 16

Mizusawa buổi trưa vui vẻ ^_^

~Học tốt~

=16

Buổi trưa vui vẻ

Dễ chứng minh từ các hình bình hành to nhỏ khác nhau. Từ đó CM O là trung điểm AA(1).

Vậy \(A,O,A_1\)thẳng hàng

Chỉ cần áp dụng một vài BĐT thôi :)

Có: \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\left(x+y\right)^2\ge2\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge x^2+y^2\)

Áp dụng các BĐT trên vào CM Bđt cần Cm:

\(\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{2}{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{7}{x^2+y^2}\ge\frac{7}{\frac{1}{2}}=14\)

Vậy ...  đpcm

Thật sự ra mục đích bài này đi chứng minh biểu thức trong ngoặc là scp

Đây là dề thi HSG toán cấp tỉnh Đồng Tháp

Có: \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(x^2+xy+yz+xz\right)\left(y^2+xy+yz+xz\right)\left(z^2+xy+yz+xz\right)}\)

Sau đó thực hiên phân tích đa thức thành nhân tử mỗi ngoặc

\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}\)

\(=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)là số hữu tỉ

Vậy

Câu số 1b đề thi hsg

Chào anh từ  huyện Cao Lãnh 

Bổ sung a,b,c > 0 nhé

Đầu tiên, ta cm bđt phụ sau: \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\) (với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác)

Do mỗi thừa số bên vế trái đpcm đều > 0 nên áp dụng Cosi được

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}.\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}.\sqrt{\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}\)

\(\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}.\frac{b+c-a+c+a-b}{2}.\frac{c+a-b+a+b-c}{2}\)

\(=\frac{2b}{2}.\frac{2c}{2}.\frac{2a}{2}=abc\)

Dấu "=" <=> a = b = c

Áp dụng bđt trên ta được

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-2c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2b\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow\left(2-2a\right)\left(2-2b\right)\left(2-2c\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow[4-4\left(a+b\right)+4ab]\left(2-2c\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow8-8\left(a+b+c\right)+8c\left(a+b+c\right)+8ab-8abc\le abc\) (phá ra)

\(\Leftrightarrow8-8\left(a+b+c\right)+8\left(ab+bc+ca\right)-9abc\le0\)

\(\Leftrightarrow9abc+8\left(a+b+c\right)-8\left(ab+bc+ca\right)-8\ge0\)

\(\Leftrightarrow9abc+8.2-8\left(ab+bc+ca\right)-8\ge0\)

\(\Leftrightarrow9abc+8-8\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{8}abc+1-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+3-3\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+4-3\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge2\)(Nhân cả 2 vế với 2)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge2\)(1)

Đến đây , ta có hằng đẳng thức sau : 

\(a^3+b^3+c^2-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)(Hđt này bạn tự c/m nhé)

Sử dụng hđt này ta được : 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+a^3+b^3+c^3-3abc\ge2\)

        \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\ge2\)

        \(\Leftrightarrow4a^3+4b^3+4c^3+15abc\ge8\)

Dấu "=" <=> a = b = c = ²/₃

Cảm ơn bạn Incursion_03 nhé!

Bạn tự vẽ hình được không? Rồi mình giúp, vì mình không biết sử dụng phần mềm vẽ hình.

a) Ta có: MA, MB là tiếp tuyến  

=> \(OA\perp MA,OB\perp MB\)

=> \(\widehat{OBM}+\widehat{OAM}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác OBMA nội tiếp

b) Xét tam giác MCA và MAD có

góc CMA=góc AMD

góc MDA=MAC 

=> tam giác MCA đồng dạng AMD

=> \(\frac{MA}{MC}=\frac{AD}{MA}\Rightarrow MA^2=MD.MC\)

c) Gọi J là trung điểm OM

Ta có: tam giác OAM vuông tại A=> JA=JO=JM

tam giác OBM vuông tại B => JB=JM=JO

=> JA=JB=JO=JM=R 

=> J là tâm đường tròn ngoại tiếp OAMN có bán kính R

I là trung điểm CD

=> OI vuông CD

=> Tam giác OIM vuông tại I có J là trung điểm OM

=> JO=JI=JM=R

=> I thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác OAMN