\(\hept{\begin{cases}x^2-4x+3=0\\x^2+xy+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\\x^2+xy+y^2=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(I\right)\hept{\begin{cases}x=1\\x^2+xy+y^2=1\end{cases}\left(h\right)\left(II\right)\hept{\begin{cases}x=3\\x^2+xy+y^2=1\end{cases}}}\)

Giải hệ (I) \(\hept{\begin{cases}x=1\\x^2+xy+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\1+y+y^2=1\end{cases}}\)

          \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y^2+y=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y\left(y+1\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}}\)

Giải hệ (II)\(\hept{\begin{cases}x=3\\x^2+xy+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\9+3y+y^2=1\end{cases}}\)

            \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y^2+3y+8=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\\left(y+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{23}{4}=0\end{cases}}\)hệ vô nghiệm

Chị ơi đây là bài hình đúng ko ạ ?

ta có :\(\sin x^2+\cos x^2=1\)

         \(\Rightarrow\sin x^2+2\cdot\sin x\cdot\cos x+\cos x^2=\)\(1+2\sin x\cdot\cos x\)

          \(\Rightarrow\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+2\sin x\cdot\cos x\)

           \(\Rightarrowđpcm\)

ĐKXĐ\(\orbr{\begin{cases}x\le\frac{1}{2}\\x\ge1\end{cases}}\)

Đặt \(\sqrt{2x^2-3x+1}=a\left(a\ge0\right)\)

\(\Rightarrow4a^2+4x-1=8x^2-8x+3\)

Thay vào đề bài được

\(4a^2+4x-1=8ax\)

\(\Leftrightarrow4a^2-8ax+4x-1=0\)

CÓ \(\Delta'=16x^2-16x+4=\left(4x-2\right)^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=\frac{4x-4x+2}{4}=\frac{1}{2}\\a=\frac{4x+4x-2}{4}=\frac{4x-1}{2}\end{cases}}\)

Làm nốt

ĐKXĐ\(\orbr{\begin{cases}x\le\frac{1}{2}\\x\ge1\end{cases}}\)

Đặt \sqrt{2x^2-3x+1}=a\left(a\ge0\right)2x2−3x+1​=a(a≥0)

\Rightarrow4a^2+4x-1=8x^2-8x+3⇒4a2+4x−1=8x2−8x+3

Thay vào đề bài được

4a^2+4x-1=8ax4a2+4x−1=8ax

\Leftrightarrow4a^2-8ax+4x-1=0⇔4a2−8ax+4x−1=0

CÓ \Delta'=16x^2-16x+4=\left(4x-2\right)^2Δ′=16x2−16x+4=(4x−2)2

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=\frac{4x-4x+2}{4}=\frac{1}{2}\\a=\frac{4x+4x-2}{4}=\frac{4x-1}{2}\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{7x+11}=a\\\sqrt{9-7x}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=14x+2\)

\(\Rightarrow\frac{2}{a^2-b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{7}{24}\)

\(\Leftrightarrow\left(b+7a\right)\left(7b-a\right)=0\)

Làm nhầm phần phân tích nhân tử giờ làm lại cách khác.

Đặt \(7x+11=a\)

\(\Rightarrow7x=a-11\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a-10}+\frac{1}{\sqrt{a\left(20-a\right)}}=\frac{7}{24}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a\left(20-a\right)}}=\frac{7}{24}-\frac{1}{a-10}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a\left(20-a\right)}=\left(\frac{7}{24}-\frac{1}{a-10}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-18\right)\left(a-16\right)\left(49a^2-630a+200\right)=0\)

PS: Bài giải trên bỏ đi nha

Vì \(\hept{\begin{cases}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{cases}\Rightarrow0\le x;y;z\le1}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(1-x\right)\ge0\\y\left(1-y\right)\ge0\\z\left(1-z\right)\ge0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-x^2\ge0\\y-y^2\ge0\\z-z^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{cases}}\)

Ta có \(S=\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3y^2+1}+\sqrt{3z^2+1}\)

             \(=\sqrt{x^2+2x^2+1}+\sqrt{y^2+2y^2+1}+\sqrt{z^2+2z^2+1}\)

             \(\le\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{y^2+2y+1}+\sqrt{z^2+2z+1}\)

              \(=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}\)

                \(=x+1+y+1+z+1\)

               \(=x+y+z+3=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 0 ; z = 1 và các hoán vị

xét :\(\sqrt{3a^2+1}=< a+1\)

=>\(3a^2+1=< a^2+2a+1\)

=>\(2a\left(a-1\right)=< 0\)luon dung 

ap dụng bđt vừa chứng minh ta có :S>=x+y+z+3=1

xay ra dấu = khi x=y=0,z=1(hoán vị)

\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

=>\(P=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

=>\(P^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

=>\(P^2-P-12=2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

=>\(P^2-P-12=< x+6+y+6\)

=>\(P^2-2P-24\)

=>\(\left(P-6\right)\left(P+4\right)=< 0\)

=>\(6>=P>=-4\)

=>P min =-4 khi và chỉ khi x=y=2

cao van duc thay x = y = 2 vào xem P = mấy ? vả lại nó cũng không thỏa mãn đề bài