1) Trước hết ta đi chứng minh BĐT : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)  với \(a,b>0\) (1) 

Thật vậy : BĐT  (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)  ( luôn đúng )

Vì vậy BĐT (1) đúng.

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

                                                                 \(=\frac{1}{4}\cdot\left[2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh !

Bài 1 : 

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\end{cases}}\)

Cộng theo từng vế 

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm)

a) Xét \(\Delta\)ABD có: ME // AD 

=> \(\frac{BM}{BD}=\frac{EM}{AD}\)(1)

Xét \(\Delta\)CFM có: AD//FM

=> \(\frac{AD}{FM}=\frac{CD}{CM}\)=> \(\frac{CM}{CD}=\frac{FM}{AD}\)(2)

Từ (1); (2) => \(\frac{EM}{AD}+\frac{FM}{AD}=\frac{BM}{BD}+\frac{CM}{CD}\)vì AD là trung tuyến => BD = CD

=> \(\frac{EM+FM}{AD}=\frac{BM+CM}{CD}=\frac{BC}{CD}=2\)

=> \(EM+FM=2AD\)

b) Tứ giác ADMI là hình bình hành

Chứng minh:

I là trung điểm của EF 

=> ME + MF = ME + ME + EF = 2ME + 2EI = 2( ME + EI ) = 2MI

mà ME + MF = 2 AD 

=> MI = AD 

Mặt khác: MI//AD

=> ADMI là hình bình hành

ta có AB=AM+MB=11+8=19 (cm)

xát tgAMN và tgABC có gA chung

                                       gAMN = gABC (hai góc đồng vị của MN//BC)

=>tgAMN ~ tgABC (g.g)

=>AM/AB=AN/AC=>11/19=AN/38

=>AN=22 (cm)

ta có AC=AN+NC=>NC = 38-22=16(cm)

Ta có: \(\frac{3\left(2y-3\right)}{5}-7=\frac{2\left(y-4\right)}{3}+\frac{3y+13}{8}\)

\(\Leftrightarrow y=49\)

x⁴-3x²-1=0

<=> x⁴-x²-2x²+1-2=0

<=> (x²-1)²-x²=2

<=> (x²-1-x²)(x²-1+x²)=2

<=> (-1)(2x²-1)=2

<=> 2x²-1=-2

<=> 2x²=-1

<=> x²=-1/2

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{-\frac{1}{2}}\) => phương trình vô nghiệm

Ta có : \(\left(2x+3\right)\left(x-3\right)+x\left(x-2\right)=3\left(x-2\right)\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-3x-9+x^2-2x=3\left(x^2-4x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^2-5x-9=3x^2-12x+12\)

\(\Leftrightarrow-5x+12x=12+9\)

\(\Leftrightarrow7x=21\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(x=3\)là nghiệm của phương trình .

\(ĐKXĐ:x\ne\pm1\)

\(\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x-1}{x^2-x+1}=\frac{2\left(x+2\right)^2}{x^6-1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x-1}{x^2-x+1}-\frac{2\left(x+2\right)^2}{\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x-1}{x^2-x+1}-\frac{2\left(x+2\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{2\left(x+2\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3+1-x^3+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{2\left(x+2\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{2\left(x+2\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2\left(x+2\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-1\right)-2\left(x^2+4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2-2x^2-8x-8=0\)

\(\Leftrightarrow-8x-10=0\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{5}{4}\)

Vậy \(x=-\frac{5}{4}\)là nghiệm của phương trình.