3A=3\(\sqrt[3]{ab}\)+3\(\sqrt[3]{bc}\)+3\(\sqrt[3]{ac}\)

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương, ta được:

3A\(\le\)(a+b+1)+(b+c+1)+(a+c+1)=9

=>A\(\le\)3<=>a=b=c=1

Vậy MaxA=3 <=>a=b=c=1

Với B làm tương tự

\(B\le\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\left(\frac{2a+b+3+3}{3}+\frac{2b+c+3+3}{3}+\frac{2c+a+3+3}{3}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3\left(a+b+c\right)+18}{3}=\frac{9}{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ngược dấu cho 2 số không âm ta có

\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x-1}}\ge2.\)

\(\sqrt{\left(\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right).\sqrt{2}}\le\frac{\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=\frac{y}{2\sqrt{2}}\Rightarrow\frac{y}{\sqrt{y-2}}\ge2\sqrt{2}.\)

\(\sqrt{\left(\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right).\sqrt{3}}\le\frac{\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{z}{2\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{z}{\sqrt{z-3}}\ge2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow A\ge2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)

Vậy Min \(A=2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\\\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}\left(tmđk\right)}\)

phải thêm đk p nguyên tố chứ bn?

\(p^4-1=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(p^2-1\right)\left(p^2-4+5\right)\)

\(=\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)+5\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

+ p là SNT > 5

=> p k chia hết cho 5

=> \(p^2\) chia 5 dư 1 hoặc 4

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}p^2-1⋮5\\p^2-4⋮5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(p^2-1\right)\left(p^2-4\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮5\)     (1)

+ p là SNT > 5  => p là số  lẻ

=> \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)là tích 2 số chẵn liên tiếp

=> \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\)                 ( 2 )

\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮8\)          (3)

+ p là số nguyên tố > 5

=> p k chia hết cho 3

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}p-1⋮3\\p+1⋮3\end{cases}}\) ( do p - 1 , p , p + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp )

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)       (4)

\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮3\)            (5)

+ Từ (1) , (3) , (5) suy ra \(\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮3.5.8\)

( do ba số 3,5,8 đôi một nguyên tố cùng nhau )

\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮120\)         (*)

+ Tư (2) và (4) suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\) ( do   (3,8) = 1 )

\(\Rightarrow5\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮120\)  (**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

(P/s :mk thử thôi nhé , k chắc có đúng đâu, sai thì bỏ qua nah)

Vì p>5 , p - nguyên tố \(\Rightarrow p-lẻ\)\(\Rightarrow p-1=2k\left(k=3,4,...\right)\)

\(\Rightarrow p+1=2k+2\Rightarrow p+1=2\left(k+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2k.2\left(k+1\right)=4k\left(k+1\right)\)

Mà k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => \(k\left(k+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\)

Xét 3 số tự nhiên liên tiếp p-1 ; p ; p+1  ắt có 1 số chia hết cho 3 . Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p không chia hết cho 3.

Do đó p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3, suy ra

\(\hept{\begin{cases}\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\\\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\end{cases}}\)

Mà (3;8)=1 \(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\)

Lại có \(p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(\Rightarrow p^4-1⋮24\)(1)

Mặt khác p-nguyên tố lớn hơn 5 suy ra p có các dạng 5n+1 , 5n+2, 5n+3, 5n+4 (n thuộc N)

Với p=5n+1 => p-1=5n \(⋮5\)=> \(p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Với p=5n+2 =>  \(p^2+1=\left(5n+2\right)^2+1=25n^2+20n+4+1=5\left(5n^2+4n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Với p=5n+3 => \(p^2+1=\left(5n+3\right)^2+1=25n^2+30n+10=5\left(5n^2+6n+2\right)⋮5\)

\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Với p=5n+4 => \(p+1=5n+4+1=5\left(n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Khi đó \(p^4-1⋮5\)(2)

Từ (1) và (2) và (5;24)=1 Ta có \(p^4-1⋮120\)

\(A=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{\sqrt{7}^2+2\sqrt{7}+1}-\sqrt{\sqrt{7}^2+2\sqrt{7}+1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{7}+1-\sqrt{7}-1=0\)

\(\Leftrightarrow A=0\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\frac{\frac{2.\left(y+z\right)}{2}}{x}+\frac{\frac{8.\left(x+z\right)}{2}}{y}+\frac{\frac{18.\left(x+y\right)}{2}}{z}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{y+z}{x}+\frac{4.\left(x+z\right)}{y}+\frac{9.\left(x+y\right)}{z}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{4x}{y}+\frac{4z}{y}+\frac{9x}{z}+\frac{9y}{z}\)

Áp dụng BĐT AM-Gm ta có:

\(P\ge2.\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{4x}{y}}+2.\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{9x}{z}}+2.\sqrt{\frac{4z}{y}.\frac{9y}{z}}=2.2+2.3+2.6=22\)

Dấu " = " xảy ra <=> y=2x; z=3x

KL:........................................

\(\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

\(=\left(2-\sqrt{5}\right)-\left(\sqrt{5}-1\right)\)

\(=2-\sqrt{5}-\sqrt{5}+1\)

\(=3-2\sqrt{5}\)

\(\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}=|2-\sqrt{5}|-|\sqrt{5}-1|.\)

\(=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}+1\)(Vì \(2=\sqrt{4}< \sqrt{5};1=\sqrt{1}< \sqrt{5}\))

\(=-1\)

\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}+\sqrt{10-4\sqrt{6}}=\sqrt{2+2.\sqrt{2}\sqrt{3}+3}+\sqrt{4-2.2.\sqrt{6}+6}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)^2}\)

\(=|\sqrt{2}+\sqrt{3}|+|2-\sqrt{6}|\)

\(=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\)( Vì \(\sqrt{6}>\sqrt{4}=2\))

ĐKXĐ (bạn tự tìm nha)

áp dụng Cauchy ngược dấu

\(\sqrt{x^2+x-1}.1\le\frac{x^2+x-1+1}{2}.\)

\(\sqrt{-x^2+x+1}.1\le\frac{-x^2+x+1+1}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}\le\frac{x^2+x}{2}+\frac{-x^2+x+2}{2}=x+1\)

Theo giả thiết \(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2\)

\(\Rightarrow x^2-x+2\le x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\le0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\le0\)

Mà \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)(TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1