Em không chắc đâu nha!

Từ đề bài suy ra \(0\le x;y;z\le1\Rightarrow x\left(1-x\right)\ge0\Rightarrow x\ge x^2\)

Tương tự với  y với z.Ta có:

\(P=\sqrt{x^2+x^2+x+1}+\sqrt{y^2+y^2+y+1}+\sqrt{z^2+z^2+z+1}\)

\(\le\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{y^2+2y+1}+\sqrt{z^2+2z+1}\)

\(=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}\)

\(=\left|x+1\right|+\left|y+1\right|+\left|z+1\right|\)

\(=\left(x+y+z\right)+3=1+3=4\)

Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó.

Vậy....

Em sai chỗ nào xin các anh/ chị chỉ rõ ra giúp ạ, chứ tk sai mà không góp ý thế em cũng không biết đường nào mà tránh cái lỗi sai tương tự đâu ạ! Em cảm ơn.

Bạn mở trong đường link này sẽ có https://moon.vn/hoi-dap/cho-tam-giac-deu-abc-noi-tiep-trong-duong-tron-tam-o-goi-mnp-lan-luot-la-trung-diem--665623

( Hình hơi bị lệch một xíu, tam giác không chính xác lắm nha)

a) Do tam giác ABC đều và M, N lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\Rightarrow\hept{\begin{cases}OM\perp AB\\ON\perp BC\end{cases}\Rightarrow\widehat{OMB}=\widehat{ONB}=90^o}\)

Xét tứ giác BMON có: \(\widehat{OMB}+\widehat{ONB}=180^o\) suy ra tứ giác BMON là tứ giác nội tiếp (tứ giác cỏ tổng 2 góc đối bằng 180^o
b) Do O là trọng tâm tam giác ABC(giả thiết) suy ra \(ON=\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}\)( tính chất đường trung tuyến).
Mặt khác, \(OG=ON+NG\Rightarrow NG=OG-ON=R-\frac{R}{2}=\frac{R}{2}\)
Vậy \(NO=NG=\frac{R}{2}\left(đpcm\right)\)

c) Gọi \(E=EC\Omega PN\) ta có: \(OC\perp AB\) (do tam giác ABC đều); \(NO//AB\)( NP là đường trung bình của tam giác ABC) 

\(\Rightarrow OC\perp NP\) tại E => tam giác OEF vuông tại E.
Xét tam giác ONC vuông tại N có đường cao NE ta có: \(ON^2=OE.OC\Rightarrow OE=\frac{ON^2}{OC}=\frac{R}{4}\) (hệ thức lượng)
Xét tam giác vuông OEF có: \(\sin\widehat{OFE}=\sin\widehat{OFP}=\frac{OE}{OF}=\frac{R}{\frac{4}{R}}=\frac{1}{4}\Rightarrow\widehat{OFP}\approx14^O28'\)

Ta có \(\frac{x-y\sqrt{2019}}{y-z\sqrt{2019}}=\frac{m}{n}\left(m,n\varepsilonℤ,\left(m,n\right)=1\right).\)

\(\Rightarrow nx-ny\sqrt{2019}=my-mz\sqrt{2019}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2019}\left(ny-mz\right).\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\ny-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2.\)

Khi đó \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)

                                    \(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Vì   \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)(chỗ này bn tự giải chi tiết nhé, và thử lại nữa) 

Kết luận...

ảnh đẹp

Ta có \(xy^2-\left(y-45\right)^2+2xy+x-220y+2024=0\)

<=> \(y^2\left(x-1\right)+2xy-130y+x-1=0\)

<=>\(y^2\left(x-1\right)+2y\left(x-65\right)+x-1=0\)

+, x=1

=> y=0

+\(x\ne1\)

Ta có \(\Delta'=\left(x-65\right)^2-\left(x-1\right)^2=64\left(66-2x\right)\)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì

\(\Delta'\ge0\)và là số chính phương

Lại có 66-2x là số chẵn

\(x\le33,66-2x\in\left\{64,36,16,4\right\}\)

=> \(x\in\left\{15,25,31\right\}\)do \(x\ne1\)

Vậy \(\left(x,y\right)=\left(15,7\right);\left(25,3\right);\left(1,0\right)\)