\(P=\frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}^2-1+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=2+\left(\sqrt{x}-1\right)+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge2+2\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot1}{\sqrt{x}-1}}=2+2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=4\)

Vậy \(P_{min}=4\Leftrightarrow x=4\)

E = 501^2 + 503^2 + 496^2 và F = 499^2 + 497^2 + 504^2

Xét E - F

= 501^2 + 503^2 + 496^2 -( 499^2 + 497^2 + 504^2 )

= 501^2 + 503^2 + 496^2 - 499^2 - 497^2 - 504^2

= ( 501^2 - 499^2 ) + ( 503^2 - 497^2 ) - ( 504^2 - 496^2 )

= ( 501 + 499 ).( 501 - 499 ) + ( 503 - 497 ).( 503 + 497 ) - ( 504 - 496 ).( 504 + 496)

= 1000.2 + 1000.6 - 1000.8

= 1000.( 2 + 6 - 8 )

= 1000.0

= 0 

=> E = F 

Chúc bn hc tốt <3

a) Bạn xem lại đề nhé ! Mình vẽ hình và thấy không đúng.

b) Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các đoạn AD,BC,BD. Lúc này ta có:

MP là đường trung bình của \(\Delta\)BAD, PN là đường trung bình của \(\Delta\)CBD

Suy ra \(\frac{PM}{PN}=\frac{2AB}{2CD}=\frac{AB}{CD}\)(1) . Gọi S,T lần lượt là giao điểm của AH,CK với BD

Ta thấy \(\Delta\)OSH ~ \(\Delta\)ASB (g.g) => \(\frac{OH}{AB}=\frac{OS}{AS}\). Tương tự \(\frac{OK}{CD}=\frac{TO}{TC}\)

Mà \(\frac{OS}{AS}=\frac{TO}{TC}\)(Hệ quả ĐL Thales) nên \(\frac{OH}{OK}=\frac{AB}{CD}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{OH}{OK}=\frac{PM}{PN}\) hay \(\frac{OH}{PM}=\frac{OK}{PN}\)

Mặt khác ^MPN = ^MPB + ^BPN = ^BDC + ^BDA + ^BAD = ^BAD + ^ADC = ^HOK

Từ đó \(\Delta\)HOK ~ \(\Delta\)MPN (c.g.c) => ^OKH = ^PNM. Lại có KO vuông góc PN và CD

=> ^PNM và ^OKH phụ với góc hợp bởi OK và MN. Do vậy MN vuông góc với HK

Dễ thấy O,I,M và O,G,N thẳng hàng. Đồng thời \(\frac{OI}{IM}=\frac{OG}{GN}=2\)=> IG // MN (ĐL Thales đảo)

Như vậy IG vuông góc HK (đpcm).

Không mất tính tổng quát g/s: MN<MP  => NH=7 ; HP=12

Ta có: 

\(NP=NH+HP=7+12=19\)

\(MP^2=HP.NP=12.19=228\Rightarrow MP=2\sqrt{57}\)

\(NM^2=NH.NP=7.19=133\Rightarrow NM=\sqrt{133}\)

Vậy

Em cảm ơn ạ 😫

\(\Sigma\frac{1}{6+a}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{6+a}\ge\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+b}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+c}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+d}\right)\)

                    \(=\frac{b}{6\left(6+b\right)}+\frac{c}{6\left(6+c\right)}+\frac{d}{6\left(6+d\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{6\left(6+b\right).6\left(6+c\right).6\left(6+d\right)}}\)

                                                                                                       \(=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}}\)

tương tự \(\frac{1}{6+b}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(6+a\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}}\)

               \(\frac{1}{6+c}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+d\right)}}\)

                \(\frac{1}{6+d}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)}}\)

Nhân các vế lại với nhau đc

\(\frac{1}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}\ge\frac{1}{16}.\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}\right)^3}\)

\(\Rightarrow\frac{abcd}{16}\le1\)

\(\Rightarrow abcd\le16\)

Dấu "=" tại a = b = c = d = 2