cách max dài và hại não

cần C/m : \(\Sigma\sqrt{a^2-a+1}\ge\Sigma a\) \(\Leftrightarrow3+2\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\ge2\Sigma ab+\Sigma a\)( * )

Ta có \(\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)=\left(\frac{3}{4}\left(a-1\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+1\right)^2\right)\left(\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2+\frac{1}{4}\left(b+1\right)^2\right)\)

\(\ge\frac{3}{4}\left|a-1\right|\left|b-1\right|+\frac{1}{4}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)( BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ) 

\(\ge\frac{3}{4}\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{1}{4}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{-1}{2}ab+a+b-\frac{1}{2}\)

Do đó : VT ( * ) \(\ge4\Sigma a-\Sigma ab\). BĐT đúng nếu : \(\Sigma a\ge\Sigma ab\)

Điều này đúng khi trong a,b,c có 1 số \(\le\)1 và 1 số khác  \(\ge\)1

Ta xét trong a,b,c có 2 số \(\ge\)1 , giả sử là b và c  . Khi đó BĐT đã cho trở thành : 

\(\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{1-b}{\sqrt{b^2-b+1}+b}+\frac{1-c}{\sqrt{c^2-c+1}+c}\ge0\)( ** )

b,c \(\ge\)1 \(\Rightarrow1-b,1-c\le0\)

Ta có : \(\sqrt{b^2-b+1}\ge\frac{b+1}{2}\)và \(\sqrt{c^2-c+1}\ge\frac{c+1}{2}\)

Do đó : VT ( ** ) \(\ge\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{2\left(1-b\right)}{3b+1}+\frac{2\left(1-c\right)}{3c+1}\)

\(=\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{8}{3}\left(\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\right)-\frac{4}{3}\)

bổ đề  \(\sqrt{bc}\ge1\)thì \(\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\ge\frac{2}{3\sqrt{bc}+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(9\sqrt{bc}-1\right)\ge0\)

vì vậy : VT (**) \(\ge\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{16}{3\left(3\sqrt{bc}+1\right)}-\frac{4}{3}\)

\(=\sqrt{a^2-a+1}-a+\frac{16\sqrt{a}}{3\left(3+\sqrt{a}\right)}-\frac{4}{3}\)

đặt \(\sqrt{a}=t\le1\), cần chứng minh : \(\sqrt{t^4-t^2+1}-t^2+\frac{16t}{3\left(3+t\right)}\ge\frac{4}{3}\)( BĐT đúng nếu t > 0,28 )

Xét \(a\le t^2=0,0784\Rightarrow a\in\left[0;0,0784\right]\)

Lại có :  \(\sqrt{b^2-b+1}>b-\frac{1}{2};\sqrt{c^2-c+1}>c-\frac{1}{2}\)

Do đó : \(\frac{1-b}{\sqrt{b^2-b+1}+b}+\frac{1-c}{\sqrt{c^2-c+1}+c}\ge\frac{1-b}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{1-c}{2c-\frac{1}{2}}\)

\(\frac{1}{2}\left[\frac{\frac{3}{2}-\left(2b-\frac{1}{2}\right)}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{3}{2}-\left(2c-\frac{1}{2}\right)}{2c-\frac{1}{2}}\right]=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2c-\frac{1}{2}}\right)-1\)

\(\ge\frac{3}{\frac{1}{\sqrt{bc}}-1}=\frac{3\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}}-1\)

do đó : VT ( ** ) \(\ge\sqrt{t^4-t^2+1}-t^2+\frac{3t}{4-t}-1\)\(\ge0\)

\(\Leftrightarrow3t\left(\frac{1}{4-t}+\frac{t}{\sqrt{t^4-t^2+1}+t^2+1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3t.\frac{\sqrt{t^4-t^2+1}+2t^2-4t+1}{\left(4-t\right)\left(\sqrt{t^4-t^2+1}+t^2+1\right)}\ge0\)

BĐT cuối đúng \(\forall\)t < 0,25 < 0,28

\(\Rightarrow\)đpcm

P/s : bài này mình tham khảo nha. cách rất dài, khó

câu hỏi

\(\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}}=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2}+\sqrt{a^2-1}}}=\frac{\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt{1}}=\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}\)

chứng minh là đề sai nhé :

\(2\sqrt{x}=1+\sqrt{y}\ge1\) \(\Rightarrow\sqrt{x}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow x\ge\frac{1}{4}\)

\(x+y\ge\frac{1}{4}>\frac{1}{5}\)( ko có dấu bằng xảy ra )

mình nghĩ sửa \(2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\)thành \(2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)

Khi đó: Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski , ta có :

\(\left(2.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}\right)^2\le\left(2^2+1^2\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\ge\frac{1}{5}\) . Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{25}\\y=\frac{1}{25}\end{cases}}\)

ĐK: \(-2\le x\le2\)

\(\left(\sqrt{2-x};\sqrt{2+x}\right)=\left(a;b\right)\) \(\left(a,b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b+ab=2\\a^2+b^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2-ab\\\left(2-ab\right)^2-2\left(2-ab\right)+1=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2-ab\\ab\left(9-ab\right)=0\end{cases}}\)

+) Nếu a=0 thì b=2 \(\Rightarrow\)\(x=-2\) ( nhận ) 

+) Nếu b=0 thì a=2 \(\Rightarrow\)\(x=2\) ( nhận ) 

+) Nếu ab=9 thì \(a+b=-7\) ( loại, do \(a+b\ge0\) ) 

... 

\(\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x^2}=2\)

\(\Rightarrow2-x+2+x+4-x^2=4\)

\(\Rightarrow8-x^2=4\)

\(\Rightarrow x^2=4\)

\(\Rightarrow x=\pm2\)

Study well