Cho đường tròn tâm O, dây AB khác đường kính. vẽ tia Ax sao cho AB là tia phân giác của góc OAx. Kẻ Bm vuông với Ax tại M. CMR: BM là tiếp tuyến của đường tròn
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(u=\frac{bc}{a^2};v=\frac{ca}{b^2};w=\frac{ab}{c^2}\). BĐT quy về:
\(\frac{1}{\sqrt{8u+1}}+\frac{1}{\sqrt{8v+1}}+\frac{1}{\sqrt{8w+1}}\ge1\) với uvw = 1
Đặt \(\sqrt{8u+1}=x;\sqrt{8v+1}=y;\sqrt{8w+1}=z\)
Ta phải chứng minh \(xy+yz+zx\ge xyz\) (*) với \(\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)=512\)
Ta có: \(\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)=512\)
\(\Leftrightarrow\Sigma x^2+x^2y^2z^2=513+\Sigma x^2y^2\)
(*) \(\Leftrightarrow\Sigma x^2y^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge x^2y^2z^2\)'
\(\Leftrightarrow\Sigma x^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge513\)
Và rất đơn giản bởi AM-GM, điều đó hiển nhiên đúng:
Có:\(\left(8v+1\right)\left(8u+1\right)\left(8w+1\right)\ge729\sqrt[9]{u^8v^8w^8}=729\)
Nên \(xyz=\sqrt{\left(8v+1\right)\left(8u+1\right)\left(8w+1\right)}\)
\(\ge\sqrt{729}=27\). Và \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3.9=27;a+b+c\ge9\)
P/s: Bài dài quá em chẳng muốn check lại. Có sai chỗ nào ko ta? Bài này lúc đầu em định uct nhưng ko ra.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{5}\right):\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{20}:\sqrt{5}-\sqrt{45}:\sqrt{5}+\sqrt{5}:\sqrt{5}\)
\(=2-3+1\)
\(=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bằng bước biến đổi \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\)ta có cách giải sau
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM,ta có: \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\ge\frac{2\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt được khi \(\left(x+y\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=0\)
Cơ mà nếu vậy thì P không có giá trị nhỏ nhất à, hay là em làm sai
Đổi tên biểu thức thành M cho nó đỡ nhầm lẫn với cách phần đặt biến phụ nha!
Biểu thức đối xứng 2 biến x, y là em nghĩ đến cách đặt \(S=x+y;P=xy\Rightarrow S^2\ge4P\).(đẳng thức xảy ra khi x = y)
Có: \(M=\frac{S^2+P}{S\sqrt{P}}=\frac{S}{\sqrt{P}}+\frac{\sqrt{P}}{S}\). Đặt \(t=\frac{S}{\sqrt{P}}=\sqrt{\frac{S^2}{P}}\ge\sqrt{\frac{4P}{P}}=2\). Quy về tìm min biểu thức:
\(M=t+\frac{1}{t}\left(t\ge2\right)\). Đến đây có 2 cách:
+) Cách 1: \(t+\frac{1}{t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}+\frac{3t}{4}\ge2\sqrt{\frac{t}{4}.\frac{1}{t}}+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi ... (anh tự giải nhá:3)
+) Cách 2: \(t+\frac{1}{t}=t+\frac{4}{t}-\frac{3}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Vậy...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta thấy \(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}\)từ đó cho ta lời giải
Điều kiện:\(x\ge2\sqrt{x-1};x\ge1\)
Ta có \(VT=\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\left|\sqrt{x-1}-1\right|\)
Do đó \(\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\sqrt{x-1}-1\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1\ge0\Leftrightarrow x\ge2\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x\ge2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)