\(y=\sqrt{x^2+2x+4}\)

\(\Leftrightarrow y^2=x^2+2x+4\)

\(\Leftrightarrow y^2=\left(x+1\right)^2+3\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x-1\right)\left(y+x+1\right)=3\)

Đến đây bạn lập bảng ạ

b) \(PT\Leftrightarrow x^2-2x+1-y^2=12\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(x+y+1\right)=12\)

Đến đây chắc là lập bảng ạ.

Ta c/m 1) \(c< 0\)và \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\Rightarrow a,b>0\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

2) \(a,b>0\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow c< 0\)và \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

Thật vậy ĐK: a+c>0, b+c>0 mà c<0 \(\Rightarrow a,b>0\)

\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\Rightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow-c=\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\c^2=ab+ac+bc+c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\ab+bc+ca=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)đpcm

2) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{c}=-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\)mà \(a,b>0\Rightarrow c< 0\)

\(\frac{1}{c}=-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Rightarrow c=\frac{-ab}{a+b}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c=a-\frac{ab}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}\\b+c=b-\frac{ab}{a+b}=\frac{b^2}{a+b}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{a+b}}=\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}=\sqrt{a+b}\)

\(\Rightarrow\)Đpcm

Có anh bảo e bình phương nên e cũng bình phương thử xem ạ:3 ( Hình như cái này là BĐT Mincốpski )

\(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+b\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2ac+2bd\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge4a^2c^2+8abcd+4b^2d^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2d^2-8abcd+4b^2c^2\ge0\)

Đến đây bí rồi:((((((

zZz Cool Kid zZz bình phương sai huống hồ không bí:))

\(\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\right)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\) nhé! Thiếu số 2 phía trước kìa