Áp dụng BDT cô-si \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{y}\sqrt{x}}}\)=2

Dấu = xảy ra khi x=y

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

dit me may 

Pt

<=> \(\left(x+1\right)^3-7x^2-8x+5=\sqrt[3]{\left(x+1\right)+\left(7x^2+8x-5\right)}\)

Đặt \(x+1=a;7x^2+8x-5=b;\sqrt[3]{x+1+\left(7x^2+8x-5\right)}=t\)

=> \(\hept{\begin{cases}a^2-b=t\\t^2-b=a\end{cases}}\)

=> \(\left(a-t\right)\left(a+t\right)=t-a\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}a=t\\a+t=-1\end{cases}}\)

+ \(a=t\)=> \(\left(x+1\right)^3=7x^2+9x-4\)

<=> \(x^3-4x^2-6x+5=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=5\\x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

+ \(a+t=-1\)

Đến đây bạn tự giải

:> Sai rồi cậu ơi 

sdtyujkl'