\(a,1+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x+3}.\)

Đặt \(\sqrt[3]{x-16}=a\Rightarrow x-16=a^3\)

\(\sqrt[3]{x+3}=b\Rightarrow x+3=b^3\)

\(\Rightarrow a^3-b^3=-19\)

Mà \(1+a=b\)

\(\Rightarrow a-b=-1\)

Ta có hệ phương trình : 

\(\hept{\begin{cases}a^3-b^3=-19\\a-b=-1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=-19\)

\(\Rightarrow a^2+ab+b^2=19\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2-ab=19\)

\(\Rightarrow1-ab=19\Rightarrow ab=-18\)

\(\Rightarrow a=-\frac{18}{b}\)( 1) 

\(a-b=-1\)

Thay vào ( 1 ) ta có : \(-\frac{18}{b}-b=-1\)

Thay vào tính ra b, rồi tính a, và tìm x nhé. ( số hơi xấu 1 tí

b tương tự. đặt ẩn rồi giải hệ phương trình nha. có gì khó hiểu hỏi tớ ^^

Ta co:

\(M=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}=\frac{x}{\sqrt{x}-2}=8+\frac{\left(\sqrt{x}-4\right)^2}{\sqrt{x}-2}\ge8\)

Dau '=' xay ra khi \(x=16\)

Vay \(M_{min}=8\)khi \(x=16\)

\(\sqrt{3x-6}\)có nghĩa

\(\Leftrightarrow3x-6\ge0\)

\(\Leftrightarrow3x\ge6\)

\(\Leftrightarrow x\ge2\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel và BĐT AM - GM ta có :

\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\)

\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ac}+\frac{d^2}{ad+bd}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ad+bc+cd+ab+2ac+2bd}\)

\(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(2ad+2bc+2cd+2ab+2ac+2bd\right)+2ac+2bd}\)

\(\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(2ad+2bc+2cd+2ab+2ac+2bd\right)+a^2+b^2+c^2+^2}\)

\(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d

Chúc bạn học tốt !!!