a) kẻ AO cắt (O) tại N

xét 2 tam giác vuông MAO và MBO có OA=OB và OM chung nên là 2 tam giác bằng nhau => MA=MB và góc OMA= góc OMB

tam giác MAB cân ở M có MH là phân giác nên cũng là đường cao nên MH \(\perp AB\)

tam giác vuông MHB có HE là trung tuyến nên HE=EB hay EHB cân ở E => \(\widehat{EHB}=\widehat{EBH}=\widehat{MAB}\)(Vì tam giác MAB cân ở M)=\(\widehat{MOA}\)(vì đều + \(\widehat{OAH}\)=90o)

Mà BN vuông góc với AB; MO cũng vuông góc với AB => MO//BN nên \(\widehat{MOA}=\widehat{ONB}\)=\(\widehat{ECB}\)(vì tứ giác ACBN nội tiếp)

vậy \(\widehat{EHB}=\widehat{ECB}\)=> CHBE nội tiếp

b) EB là tiếp tuyến của (O) nên dễ dàng chứng minh EB²=EC.EA

Mà EB=EM => EM²=EC.EA <=> \(\frac{EM}{EC}=\frac{EA}{EM}\)=> tam giác EMC và tam giác EAM đồng dạng =>  \(_{\widehat{AME}=\widehat{MCE}=\widehat{ACD}=\widehat{ABD}}\)

hay \(\widehat{AME}=\widehat{ABD}\)

lại có \(\widehat{ADB}=\widehat{ECB}=\widehat{EHB}=\widehat{EBH}\)

2 tam giác AMB và tam giác ABD có 2 góc tương ứng bằng nhau => đồng dạng với nhau

mà tam giác AMB cân ở M nên tam giác ABD cân ở B

c)\(\frac{KD}{KA}=3\)

Câu c, làm thế nào thế Vũ Tiến Mạnh

AC<HC??? cạnh huyền nhỏ hơn cạnh góc vuông!

Vũ Tiến Manh  mình viết nhầm đề bài, phải là cho t/g ABC vuông tại A 

x+my=5 <=> x= 5-my thay vào (2)

2(5-my) +(m²-m)y=10 <=> (m²-3m)y=0 <=> y=0 => x= 5-0=5

vậy (x;y) = (5;0)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Tính bán kính của đường tròn đó, biết BD = 4 cm, DC = 6cm.
Khó thực sự :(

Xác định M trùng với B => AH+AM lớn nhất

\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{3}{2xy}+4xy\ge\frac{4}{\frac{1}{4}}+\frac{3}{2xy}+384xy-380xy\)

\(\ge16+2\cdot24-380xy=64-380xy\)

+) \(\frac{1}{2}\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge4xy\Leftrightarrow\frac{1}{16}\ge xy\)

\(\Rightarrow-380xy\ge380\cdot\frac{1}{16}=23.75\)

\(\Rightarrow S\ge64-23.75=40.25\)

Dấu = xảy ra khi x=y=1/4

Tại sao \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\le\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\)  ?

dk \(\hept{\begin{cases}x\left(3x+1\right)\ge0\\x\left(x-1\right)\ge0\end{cases}< =>\orbr{\begin{cases}x\ge1\\x\le\frac{-1}{3}\end{cases}}}\)

vì x khác 0 nên chia cả 2 vế cho \(\sqrt{x}\)ta được \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2\sqrt{x}< =>\)\(\sqrt{x-1}+2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1}=0< =>\)\(\sqrt{x-1}+\frac{4x-\left(3x+1\right)}{2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}}=0\)\(\sqrt{x-1}+\frac{x-1}{2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}}=0\)\(< =>\sqrt{x-1}\left(1+\frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}}\right)=0< =>\sqrt{x-1}=0\) (vì biểu thức trong ngoặc luôn \(\ge1\)) <=> x-1= 0 <=> x=1 (thỏa mãn điều kiện)