\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-2xy=3\\\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=27\end{cases}}\)  

Đặt S = x + y ; P = xy 

\(\hept{\begin{cases}S^2-2P=3\\S\left(S^2-2P-P\right)=27\end{cases}}\) 

   \(\hept{\begin{cases}S^2-2P=3\\S\left(3-P\right)=27\end{cases}}\)    

\(\hept{\begin{cases}S^2-2P=3\\3-P=\frac{27}{S}\end{cases}}\)   

\(\hept{\begin{cases}S^2-2\left(\frac{3S-27}{S}\right)=3\\P=\frac{3S-27}{S}\end{cases}}\)    

\(\hept{\begin{cases}S^3-6S+54=3\\P=\frac{3S-27}{S}\end{cases}}\)  

\(\hept{\begin{cases}S^3-6S+51=0\\P=\frac{3S-27}{S}\end{cases}}\)     

Tới đây giải như bình thường nha 

??????????????

\(\Delta\)ABC vuông tại A có AB<AC. 

Kẻ đường cao AH ; Vì AB < AC => BH < HC=> H thuộc BM 

Ta có: \(\sin\alpha=\frac{AB}{BC};\cos\alpha=\frac{AC}{BC};\sin\beta=\frac{AH}{AM}\)

=> \(\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}+\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}+\frac{2AB.AC}{BC^2}=1+\frac{2AB.AC}{BC^2}\)

Mà theo hệ thức lượng: \(AB^2=BC.BH;AC^2=CB.CH\)

=> \(\frac{2AB.AC}{BC^2}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=\frac{2BH.CH}{AB.AC}=\frac{2AH^2}{AB.AC}\)

Ta cần chứng minh: \(\frac{2AH^2}{AB.AC}=\frac{AH}{AM}\Leftrightarrow2AH.AM=AB.AC\Leftrightarrow AH.BC=AB.AC\)đúng 

Vậy \(1+\frac{2AB.AC}{BC^2}=1+\frac{AH}{AM}\)

=> Có điều cần phải cm

Ta có : 

\(\frac{4ab+1}{4ab}=1+\frac{1}{4ab}\ge1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{4ab}{4ab+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)

Tương tự ta được : 

\(\frac{4bc}{4bc+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}};\frac{4ca}{4ca+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\)

\(\Rightarrow VP\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\)

BĐT cần chứng minh tương đương với 

\(a+b+c\ge\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\) (1)

Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)

\(x,y,z>0;x+y+z=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow x+y+z\ge2\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}\right)\)

\(VP=\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}\le\frac{2x^2}{2x}+\frac{2y^2}{2y}+\frac{2z^2}{2z}=x+y+z=VT\)

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

\(\frac{4ab}{4ab+1}< =\frac{4ab}{2\sqrt{4ab}}=\sqrt{ab}\)

CMTT =>\(\hept{\begin{cases}\frac{4bc}{4bc+1}< =\sqrt{bc}\\\frac{4ac}{4ac+1}< =\sqrt{ac}\end{cases}}\)

Ta có \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ac}\)

=\(\frac{1}{2}\left(\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b+2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c+2\sqrt{ac}+a\right)\right)\)

=\(\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\right)>=0\)

dấu = xảy ra khi a=b=c.

\(=>a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)\(>=\frac{4ab}{4ab+1}+\frac{4bc}{4bc+1}+\frac{4ac}{4ac+1}\)

Biến đổi về dạng   \(\left(x-\sqrt{2}\right)^3=2\)

 \(\Leftrightarrow x^3-3x^2\cdot\sqrt{2}+6x-2\sqrt{2}=2\)  

     \(\Leftrightarrow x^3+6x-2=\left(3x^2+2\right)\cdot\sqrt{2}\)

           \(\Leftrightarrow\left(x^3+6x-2\right)^2=2\left(3x^2+2\right)^2\)Rút gọn ta được \(x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4=0\)

Vậy đa thức cần tìm là    \(x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4\)

Bài 1: \(x+\sqrt{3}=2\Rightarrow x-2=-\sqrt{3}\Rightarrow\left(x-2\right)^2=3\Rightarrow x^2-4x+1=0\)

\(B=x^5-3x^4-3x^3+6x^2-20x-2022\)

\(=\left(x^5-4x^4+x^3\right)+\left(x^4-4x^3+x^2\right)+5\left(x^2-4x+1\right)+2017\)

\(=x^3\left(x^2-4x+1\right)+x^2\left(x^2-4x+1\right)+5\left(x^2-4x+1\right)+2017\)

\(=2017\)

dễ nên mình đặt link câu a cho : https://olm.vn/hoi-dap/detail/189000873419.html

tí mình gửi qua tin nhắn nhé !

Đặt \(A=\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}+\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}\)

\(=6+2\sqrt{9-\left(5+2\sqrt{3}\right)}=6+2\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}\)

\(=6+2\left(3+1\right)=6+6+2=14\)

Nên biểu thức tương đương với \(14-\sqrt{3}\)