\(\left(x-2\right)^2-\left(x-3\right)^2=2\left(3x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2-x+3\right)\left(x-2+x-3\right)=2\left(3x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)=2\left(3x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-5=6x-2\)

\(\Leftrightarrow2x-6x=5-2\)

\(\Leftrightarrow-4x=3\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{3}{4}\)

Vậy phương trình trên có nghiệm là: \(S=\left\{-\frac{3}{4}\right\}\)

 #hoktot<3# 

Dễ thấy y\(\ge\)0 .Vế phải phương trình khác 0 nên vế trái phương trình ta có:

|x|\(\ge\)|y|+1 hay |x|\(\le\)|y|-1

Cả hai trường hợp này ta đều có (x² - y²)²\(\ge\)( 2y\(\pm\)1)²

Khi đó (2y\(\pm\)1)²\(\le\)10y+9

Từ đó suy ra y\(\varepsilon\){0,4} mà chú ý thêm cái là 10y+9 là số chính phương suy ra y\(\varepsilon\){0,4}

Xét y=4 suy ra x=\(\pm\)3

Vậy (x,y) =(4,3) , (4, - 3)

10y+9=(x²−y²)2≥0⇒y≥0 , mà y=0 không thoả pt nên suy ra y>0.

Xét (mod10) :

(x²−y² )2 = 10y + 9 ≡ 9 ⇒ x²−y²≡ 3 hoặc 7.

TH1: x²−y²≡3⇒x²−y²=10n+3 (với n∈Z^∗)

⇒(10n+3)²=10y+9⇒y=10n²+6n

⇒x²=(10n²+6n)²+10n+3

⇒n>0: (10n²+6n)²<x²<(10n²+6n+1)²

=>n<−1: (10n²+6n−1)²<x²<(10n2+6n)²

=>n=−1: x²=9⇒x=±3 ; y=4

⇒(x,y)=(−3;4) ; (3;4)

TH2

: x²−y²≡7⇒x²−y²=10n−3 (với n∈Z^∗)

⇒(10n−3)²=10y+9⇒y=10n²−6n

⇒x²=(10n²−6n)²+10n−3

⇒n>0: (10n2−6n)²<x²<(10n2−6n+1)²

=>n≤−1:(10n²−6n−1)²<x²<(10n²−6n)²

⇒TH này VN.

Vậy tóm lại pt chỉ có 2 nghiệm nguyên là (x;y)=(−3;4) ; (3;4)

.

a) Biến đổi VT . Mẫu chung là ( a + 2b )( a - 2b )

\(VT=\frac{a+2b-6b-2\left(a-2b\right)}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 1 )

Biến đổi VP 

\(-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2+4b^2+a^2-4b^2}{a^2-4b^2}\)

\(=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP ( đpcm )

b) \(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)

<=> \(b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)-a^3\)( * )

Biến đổi VT của ( * ) ta có :

\(VT=\left[b+\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right]\left[b^2-\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}+\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}\right]\)

\(=\frac{3a^3b}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^6b^2+3a^3b^5+3b^8}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 1 )

\(VP=\left[\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}-a\right]\left[\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}+\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}+a^2\right]\)

\(=\frac{3ab^3}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^8+3a^5b^3+3a^2b^6}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP => ( * ) đúng 

=> Hằng đẳng thức đúng