Cho phương trình
Chứng minh rằng với mọi
, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm số nguyên m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hệ \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(x-2y\right)^2=\left(x-2y\right)^2\\\sqrt{x-2y}+\sqrt{3x+2y}=4x-4\end{cases}.}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2y\right)^2\left(x+y-1\right)=0\\\sqrt{x-2y}+\sqrt{3x+2y}=4x-4\end{cases}}\)
Đến đây thì đơn giản rồi, tự làm nhé
\(P=\frac{\left(a+b\right)^2+ab}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3.2\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}+2\sqrt{\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}.\frac{\sqrt{ab}}{a+b}}=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{5}{2}\) khi a=b
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\Sigma a^2+3\Sigma a+\Sigma_{cyc}ab^2+2\Sigma ab+3\)
\(\Leftrightarrow\)\(abc\left(a+b+c\right)+\Sigma_{sym}a^2b+\Sigma a^2+2\Sigma ab+\Sigma a\ge\Sigma a^2+3\Sigma a+\Sigma_{cyc}ab^2+2\Sigma ab\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2b+b^2c+c^2a\ge a+b+c\) (1)
Do abc=1 nên đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\)
(1) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^3+y^3+z^3\ge xy^2+yz^2+zx^2\) (2)
Lại có: \(x^3+y^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^6}=3xy^2\)
Tương tự với y3, z3 => (2) => (1) => bđt cần cm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
\(ĐK:x\ne\frac{-1}{2},x\ne-1\)
\(PT\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2x+1}-\frac{1}{2x+2}\right)^2+\frac{2}{\left(2x+1\right)\left(2x+2\right)}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\left(2x+1\right)\left(2x+2\right)}\right)^2+\frac{2}{\left(2x+1\right)\left(2x+2\right)}=3\)
Đặt \(\frac{1}{\left(2x+1\right)\left(2x+2\right)}=a\)
\(\Rightarrow a^2+2a-3=0\)\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+3\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\a=-3\end{cases}}\)
Đến đây tự giải tiếp nhé
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3yz}}+\frac{y^2}{\sqrt[3]{y^3xz}}+\frac{z^2}{\sqrt[3]{z^3xy}}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT : AM - GM :
\(\sqrt[3]{x^3yz}\le\frac{x^2+xyz+1}{3};\sqrt[3]{y^3xz}\le\frac{y^2+xyz+1}{3};\sqrt[3]{z^3xy}\le\frac{z^2+xyz+1}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2+3xyz+3}{3}=2+xyz\)
Theo BĐT AM - GM :
\(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\le3\Leftrightarrow xyz\le1\)
Do đó : \(\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}\le3\left(2\right)\)
Tư (1) , (2) và sử dụng hệ quả :
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx:\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)}{3}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{3}\)\(=xy+yz+xz\)
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si swcharz:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=2\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}}\)
Vậy gtnn là 1 khi x=y=z=2/3
\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\)
\(\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)
\(TT:\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{z}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{x}\right)\)
\(S\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)
\(\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)
a.
Ta co:
\(\orbr{\begin{cases}x^2-2x-3=0\left(1\right)\left(x\ge0\right)\\x^2+2x-3=0\left(2\right)\left(x< 0\right)\end{cases}}\)
(1)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\left(l\right)\\x=3\left(n\right)\end{cases}}\)
(2)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(l\right)\\x=-3\left(n\right)\end{cases}}\)
b.
Ta lai co:
\(\orbr{\begin{cases}x^2-2x+1-4a^2=0\left(3\right)\left(x\ge0\right)\\x^2+2x+1-4a^2=0\left(4\right)\left(x< 0\right)\end{cases}}\)
Xet (3)
De phuong trinh dau co 4 nghiem thi PT(3) co nghiem
\(\Rightarrow\Delta^`>0\)
\(\Leftrightarrow4a^2>0\)
\(\Leftrightarrow a>0\)
\(\Rightarrow x_1=1+2a;x_2=1-2a\)
Tuong tu
(4)
\(a>0\)
\(\Rightarrow x_3=-1+2a;x_4=-1-2a\)
\(\Rightarrow S=\left(1+2a\right)^2+\left(1-2a\right)^2+\left(-1+2a\right)^2+\left(-1-2a\right)^2\)
\(=2\left(1+2a\right)^2+2\left(1-2a\right)^2\)
\(\Rightarrow S< +\infty\)