HPT : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{36}\\\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{x}+\frac{3}{y}=\frac{5}{12}\left(1\right)\\\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2), lấy vế trừ vế ta được :

\(\Leftrightarrow\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}\right)-\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}\right)=\frac{1}{2}-\frac{5}{12}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{12}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}=\frac{5}{36}-\frac{1}{x}=\frac{5}{36}-\frac{1}{12}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=12\\y=18\end{cases}}\)

Gọi quãng đường AB là: x ( x > 0 ) ( km)

     Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là: y ( y > 0 ) ( giờ )

\(\Rightarrow\)10y = x

\(\Leftrightarrow\)x - 10y = 0 ( 1 )

Thời gian thực tế đế người đi xe đạp đi hết nửa quãng đường là: \(\frac{x}{2}:10=\frac{x}{20}\)

Vì muốn đến B kịp giờ nên người ấy phải đi với vânkj tốc 15km/h trên quãng đường còn lại nên =) Thời gian để đi hết quãng đường còn lai là: \(\frac{x}{2}:15=\frac{x}{30}\)giờ

Vì thời gian dự định bằng thời gian thực tế và người đó nghỉ 0,5 giờ ( 30 phút )

\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{20}+\frac{x}{30}+0,5=y\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{12}-y=0,5\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}x-10y=0\\\frac{x}{12}-y=-0,5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=30\\y=3\end{cases}}\)

Vậy quãng đường AB: 30km

t nghĩ đề phải bổ sung là a,b,c > 0 nữa.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

\(\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}-6+\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)}{abc}+\frac{9\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)-27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{abc}-\frac{18\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\left[\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc\right]\ge0\)

cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc+a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-6abc\ge0\)

Ta thấy \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-6abc=a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Thanh Tùng DZ Sao anh ko dùng co si cho nhanh để cm cái bđt cuối ??
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9abc\Rightarrowđpcm\)

cho điều kiện a,b nữa. 

BĐT \(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

à có a,b>0

Chia tam giác đó thành 16 tam giác đều bằng nhau cạnh 1/4. Theo Dirichlet tồn tại 2 điểm cùng thuộc 1 tam giác và khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1/4 .

a) \(ĐKXĐ:x\ge0;x\ne3\)

b) \(A=\left(\frac{x-2\sqrt{3x}+3}{x-3}\right)\left(\sqrt{4x}+\sqrt{12}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}\right).2\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{x}-2\sqrt{3}\)

c) Thay \(x=4-2\sqrt{3}\)vào A, ta có :

\(A=2\sqrt{4-2\sqrt{3}}-2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^2}-2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(\sqrt{3}-1\right)-2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A=-2\)