Cho a,b,c là 3 số dương thỏa \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
hình tự vẽ nha
kẻ tiếp tuyến Ax ( Ax khác phía với C' )
\(\Rightarrow Ax\perp OA\); \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
Xét tứ giác BCB'C' có \(\widehat{BC'C}=\widehat{BB'C}=90^o\)nên tứ giác BC'B'C nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{C'BC}+\widehat{CB'C'}=180^o\)
Mà \(\widehat{AB'C'}+\widehat{C'B'C}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AB'C'}=\widehat{ABC}\)
Ta có : \(\widehat{AB'C'}+\widehat{B'AO}=\widehat{ABC}+\widehat{B'AO}=\widehat{xAC}+\widehat{B'AO}=\widehat{xAO}=90^o\)
\(\Rightarrow OA\perp B'C'\)
\(ĐK:x\ge0\)
\(PT\Leftrightarrow x^2+x+1+2x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2x=2x^2-30x+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-33x+1-2x\sqrt{x}-2\sqrt{x}=0\left(1\right)\)
Đặt \(\sqrt{x}=a\left(a\ge0\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^4-33a^2+1-2a^3-2a=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{7\pm3\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}\end{cases}}\)
x(x-1)(x+4)(x+5)=84
<=> (x2+4x)(x2+4x-5)=84
Đặt x2+4x=a
=> a(a-5)=84
<=> a2-5a-84=0
<=>(a+7)(a-12)=0
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-7\\a=12\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x^2+4x+7=0\left(vo.nghiem\right)\\x^2+4x-12=0\end{cases}}\)
Đến đây đơn giản rồi nhé :))
\(x\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)=84\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+4\right)\left(x-1\right)\left(x+5\right)=84\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x\right)\left(x^2+4x-5\right)=84\)
Đặt \(x^2+4x=u\)
Phương trình trở thành \(u\left(u-5\right)=84\)
\(\Leftrightarrow u^2-5u+\frac{25}{4}=\frac{361}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(u-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{361}{4}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}u-\frac{5}{2}=\sqrt{\frac{361}{4}}\\u-\frac{5}{2}=-\sqrt{\frac{361}{4}}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}u=12\\u=-7\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+4x=12\\x^2+4x=-7\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+2\right)^2=16\\\left(x+2\right)^2=-3\left(L\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x\in\left\{2;-6\right\}\)
Vậy pt có 2 nghiệm là 2 và -6
Gọi số nguyên đó là a. Ta cần chứng minh
a3+11a⋮6a3+11a⋮6
Xét: a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6
Vậy ta có đpcm.
Lời giải:
Xét biểu thức A=n3−13nA=n3−13n. Ta cần cm A⋮6A⋮6
Thật vậy: A=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12nA=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12n
A=n(n−1)(n+1)−12nA=n(n−1)(n+1)−12n
Vì n,n−1n,n−1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)⋮2n(n−1)⋮2
⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇒n(n−1)(n+1)⋮3
Vì n−1,n,n+1n−1,n,n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)(n+1)⋮3n(n−1)(n+1)⋮3
Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: n(n−1)(n+1)⋮6n(n−1)(n+1)⋮6
Mà 12n⋮612n⋮6
⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6
Ta có đpcm.
Theo AM-GM: \(x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{1}{yz}\)
\(\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{zx}\)
Cộng vế với vế => \(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
Theo AM-GM; \(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1
Áp dụng bất đẳng thức Cacuhy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2\sqrt{y^3z^2}=2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2\sqrt{z^3x^2}=2xz\sqrt{z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\\\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}=\frac{1}{yz}\\\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{2\sqrt{z}}{2xz\sqrt{z}}=\frac{1}{xz}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\\\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{y^2z^2}}=\frac{2}{yz}\\\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{z^2x^2}}=\frac{2}{xz}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\left(đpcm\right)\)
Cho a,b,c >0 CMR - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
P/s: Em nhớ bài này có lời giải bằng Dirichlet thì phải.
Là sao ạ