a, ABCD là hình thang (gt) => AB // CD (đn)

=> OA/OC = OB/OD (talet)                                          (1)

có AF // BC (gt) => FO/OB = AO/OC (talet) ; có BE // AD (gt) => OE/OA = OB/OD (talet) và (1)

=> FO/OB = OE/OA ; xét tg AOB 

=> FE // AB (talet đảo)

b, có DA // BE (Gt) ; ^DAO slt ^OEB ; ^ADO slt ^OBE 

=> ^DAO = ^OEB và ^ADO = ^OBE (đl)

xét tg ADO và tg EBO 

=> tg ADO đồng dạng với tg EBO (g-g)

=> AO/OE = DO/OB                  (2)

+ AB // FE (câu a) => AO/OE = AB/EF (talet) ; có AB // DC (Câu a) => DO/OB = CD/AB (talet) và (2)

=> AB/EF = CD/AB 

=> AB^2  = EF.CD 

c, kẻ AH _|_ BD ; CK _|_ BD

có S1 = OB.AH/2 ; S2 = OD.CK/2  => S1.S2 = OB.AH.OD.CK/4

CÓ S3 = AH.DO/2 ; S4 = CK.OB/2 => C3.C4 = OB.AH.OD.CK/4

=> S1.S2 = S3.S4

a) 

\(3x^2-x^3-9x+3x^2+27-9x=27-x^3\) 

\(-x^3+6x^2-18x+27=27-x^3\) 

\(6x^2-18x=0\) 

\(6x\left(x-3\right)=0\) 

\(\orbr{\begin{cases}6x=0\\x-3=0\end{cases}}\) 

\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}}\) 

b) 

\(x^4-x^3y+x^3y-x^2y^2+x^2y^2-xy^3+xy^3-y^4=x^4-y^4\) 

\(x^4-y^4=x^4-y^4\) 

\(0=0\left(llđ\forall x\right)\) 

a) ( x² - 3x + 9 )( 3 - x ) = 27 - x³

<=> -x³ + 6x² - 18x + 27 = 27 - x³

<=> -x³ + 6x² - 18x + x³ = 27 - 27

<=> 6x² - 18x = 0

<=> 6x( x - 3 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}6x=0\\x-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}}\)

b) Ta có VP = ( x² )² - ( y² )²

                    = ( x² - y² )( x² + y² )

                    = ( x - y )( x + y )( x² + y² )

                    = ( x - y )[ ( x + y )( x² + y² ) ]

                    = ( x - y )( x³ + xy² + x²y + y³ ) = VT

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x, y ∈ R

1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

\(\left(x+y-z\right)^2+2\left(z-x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2\)

\(=\left(x+y-z\right)^2-2\left(x+y-z\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2\)

\(\left[\left(x+y-z\right)-\left(x+y\right)\right]^2=z^2\)

\(\left(x+y-z\right)^2+2\left(z-x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2\)

\(=\left(x+y-z\right)^2-2\left(x+y-z\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2\)

\(=\left(x+y-z-x+y\right)^2\)

\(=-z^2\)

\(2x\left(2x-1\right)^2-3x\left(x+3\right)\left(x-3\right)-4x\left(x+1\right)^2\)

\(=x\left[2\left(2x-1\right)^2-3\left(x^2-9\right)-4\left(x+1\right)^2\right]\)

\(=x\left(8x^2-8x+1-3x^2+27-4x^2-8x-4\right)\)

\(=x\left(x^2-16x+28\right)=x\left(x-2\right)\left(x-14\right)\)

\(2x\left(2x-1\right)^2-3x\left(x+3\right)\left(x-3\right)-4x\left(x+1\right)^2\)

\(=2x\left(4x^2-4x+1\right)-3x\left(x^2-9\right)-4x\left(x^2+2x+1\right)\)

\(=8x^3-8x^2+2x-3x^3+27x-4x^3-8x^2-4x\)

\(=x^3-16x^2+25x\)

\(\left(6x+3\right)-\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)\)

\(=3.\left(2x+1\right)-\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)\)

\(=\left(2x+1\right)\left(3-2x+5\right)\)

\(=\left(2x+1\right)\left(8-2x\right)=2.\left(2x+1\right)\left(4-x\right)\)

Cần cm: \(\left(x^2+2y^2+3z^2\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)=\left(ax+2by+3cz\right)^2\)

Theo bđt Cauchy-Schwarz:

\(VT=\left(x^2+2y^2+3z^2\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\ge\left(ax+\sqrt{2}y.\sqrt{2}b+\sqrt{3}z.\sqrt{3}c\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(ax+2by+3cz\right)^2\)\(=VP\)

Dấu "=" khi \(\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{3}z}{\sqrt{3}c}\Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Ta thấy dấu "=" ở đây xảy ra vì từ gt \(\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\)

\(\Rightarrow x=ak;y=bk;z=ck\)

\(\left(x^2+2y^2+3z^2\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\)

\(=\left[\left(ak\right)^2+2\left(bk\right)^2+3\left(ck\right)^2\right]\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\)

\(=k^2\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\)

\(=k^2\left(a^2+2b^2+3c^2\right)^2\left(1\right)\)

\(\left(ax+2by+3cz\right)^2\)

\(=\left(a.ak+2b.bk+3c.ck\right)^2\)

\(=\left[k\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\right]^2\)

\(=k^2\left(a^2+2b^2+3c^2\right)^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và\(\left(2\right)\Rightarrow dpcm\)

1. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là a, a+1 , a+2 ( a thuộc N )

Theo đề bài ta có : ( a + 1 )( a + 2 ) - a( a + 1 ) = 25

                       <=> a² + 3a + 2 - a² - a = 25

                       <=> 2a = 25

                       <=> a = 25/2 ( đến đây => sai đề :)) )

2. Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp đó là 2a, 2a+2, 2a+4 ( a thuộc N )

Theo đề bài ta có : ( 2a + 2 )² - 2a( 2a + 4 ) = 1/3.2a

                       <=> 4a² + 8a + 4 - 4a² - 8a = 2/3a

                       <=> 4 = 2/3a

                       <=> a = 6

=> 2a = 12

2a + 2 = 14

2a + 4 = 16

Vậy ba số cần tìm là 12 ; 14 ; 16

a)

Gọi x - 1 là số thứ nhất ( ĐK : \(x-1\in N\) ) 

x là số thứ hai 

x + 1 là số thứ ba 

Theo đề , ta có : 

\(x\left(x-1\right)+25=x\left(x+1\right)\) 

\(x^2-x+25=x^2+x\) 

\(2x=-25\)

\(x=-\frac{25}{2}\) ( loại vì x \(\notin\) N ) 

b) 

Gọi x - 2 là số thứ nhất ( ĐK : \(x-2\in N;x-2⋮2\) ) 

x là số thứ hai 

x + 2 là số thứ ba 

Theo đề ; ta có : 

\(x^2-\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\frac{1}{3}\left(x-2\right)\) 

\(x^2-\left(x^2-2^2\right)=\frac{1}{3}\left(x-2\right)\) 

\(x^2-x^2+4=\frac{1}{3}\left(x-2\right)\) 

\(\frac{1}{3}\left(x-2\right)=4\) 

\(x-2=12\) 

\(x=14\) ( nhận ) 

Vậy số thứ hai là 14 

Số thứ nhất là 14 - 2 = 12 

Số thứ ba là 14 + 2 = 16 

b) Vì \(\left|a\right|=\left|-a\right|\)\(\Rightarrow\)\(\left|x-2020\right|=\left|2020-x\right|\)

    Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)biểu thức P(x), ta có:

   \(\left|2020-x\right|+\left|x+2021\right|\ge\left|2020-x+x+2021\right|=4041\)

     \(\Rightarrow\)\(P\left(x\right)\ge4041\)

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left(2020-x\right)\left(x+2021\right)>0\)

                                            \(\Leftrightarrow-2021< x< 2020\)

 Vậy \(P\left(x\right)_{min}=4041\)\(\Leftrightarrow\)\(-2021< x< 2020\)

a,Thay x=1 là nghiệm của đa thức P(x)

Ta có:ax²+bx+c=0

          a.1²+b.1+c=0

          a+b+c=0

=>x=1 là nghiệm của P(x)    (đpcm)

Đặt \(x+6=a;y-7=b;z-9=c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^3+b^3+c^3=0\end{cases}}\)

Bạn hiểu chưa :))

Đặt x+6=a, y-7=b, z-9=c

Vì x+y+z=10 nên a+b+c=0

Xét \(a^3+b^3+c^3=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=-3abc\)(1)

Ta có đẳng thức (bạn nên học đẳng thức này nhé vì nó cực kì thông dụng trong toán nâng cao):

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]}{2}\)(2)

Vì a+b+c=0 nên từ (1), (2) suy ra \(\hept{\begin{cases}-3abc=0\\a+b+c=0\end{cases}\Rightarrow a=b=c=0}\)

Vậy M = a²⁰¹⁹+b²⁰¹⁹+c²⁰¹⁹=0