Sửa đề (d) y=2(m-1)x+m^2+2m

a, đường thẳng d đi qua điểm M(1;3) => \(x_M=1;y_M=3\)

Ta có; \(y_M=2\left(m-1\right)x_M+m^2+2m\)

=>\(3=2\left(m-1\right).1+m^2+2m\)

<=>\(m^2+2m+2m-2-3=0\)

<=>\(m^2+4m-5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=-5\end{cases}}\)

b, Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :

\(x^2=2\left(m-1\right)x+m^2+2m\) 

<=>\(x^2-2\left(m-1\right)x-m^2-2m=0\)(1)

\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1.\left(-m^2-2m\right)=m^2-2m+1+m^2+2m=2m^2+1>0\)

Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt => (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

c, Theo vi-ét ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m^2-2m\end{cases}}\)

\(x_1^2+x_2^2+6x_1x_2>2017\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2-2017>0\)

<=>\(4\left(m-1\right)^2+4\left(-m^2-2m\right)-2017>0\)

<=>\(4m^2-8m+4-4m^2-8m-2017>0\)

<=>\(-16m-2013>0\)

<=>\(m< \frac{-2013}{16}\)

a ) Theo định lí Py - ta - go

\(HA^2+HB^2=AB^2;HC^2+HB^2=BC^2;HC^2+HD^2=CD^2;HA^2+HD^2=AD^2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b ) Tứ giác \(HPBS\)nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HPS}=\widehat{HBS}=\widehat{DBC}\)

Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{HPQ}=\widehat{HAQ}=\widehat{CAD}=\widehat{CBD}\)

Do đó : \(\widehat{SPQ}=\widehat{HPS}+\widehat{HPQ}=2\widehat{CBC}\)

Tương tư : \(\widehat{SQR}=2\widehat{BDC}\)

Do đó : \(\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{SPQ}+\widehat{SRQ}=180^0\) nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí
đảo)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( với x , y > 0 )
Ta có : \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)

Suy ra : 

\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)

Tường tự ta có : 

\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\)

\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) 

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)

Chúc bạn học tốt !!!

địt mẹ laaaaaa

Nghĩ mãi mới ra bài này:

Đặt \(a=\frac{x^2}{z},b=\frac{y^2}{z}\Rightarrow ab=\frac{x^2y^2}{z^2}\ge1\Rightarrow xy\ge z\)

Thay vào, quy đồng lên ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm: 

(x - y)^2*(2*x^4*y^2 + 4*x^3*y^3 + 2*x^2*y^4 + 2*x^4*z + 4*x^3*y*z + 13*x^2*y^2*z + 4*x*y^3*z + 2*y^4*z + 4*x^2*z^2 + 8*x*y*z^2 + 4*y^2*z^2 - 10*z^3) + (x*y - z)*(3*x*y + 2*z)*(3*x^2*y^2 + 7*x*y*z + 6*z^2)

Mặt khác đây là điều hiển nhiên:))

Test tool. (Xin lỗi bạn vì spam nhé)